比和比例奥数讲义.doc

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1、比和比例　　在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关．在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断。　　成正比或反比的量中都有两种相关联的量．一种量（记作x）变化时另一种量（记作y）也随着变化．与这两个量联系着，有一个不变的量（记为k）．在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量k．如成正比例；如果k是y与x的积，即在x变化时，y与x的积不变：xy＝k，那么y与x成反比例．如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例．　　下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始．　　例1下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？

2、　　①速度一定，路程与时间．　　②路程一定，速度与时间．　　③路程一定，已走的路程与未走的路程．　　④总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间．　　⑤总产量一定，亩产量和播种面积．　　⑥整除情况下被除数一定，除数和商．　　⑦同时同地，竿高和影长．　　⑧半径一定，圆心角的度数和扇形面积．28　　⑨两个齿轮啮合转动时转速和齿数．　　⑩圆的半径和面积．　　(11)长方体体积一定，底面积和高．　　(12)正方形的边长和它的面积．　　(13)乘公共汽车的站数和票价．　　(14)房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数．　　(15)汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总量．　

3、　分析以上每题都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢？关键是能否把两个两种形式，或只能写出加减法关系，那么这两种量就不成比例．例如①×零件数＝总时间，总时间一定，制造每个零件用的时间与要制造的零件总数成反比例．③路程一定，已走的路程和未走的路程是加减法关系，不成比例．　　解：成正比例的有：①、⑦、⑧、(15)　　　　成反比例的有：②、④、⑤、⑥、⑨、(11)、(14)　　　　不成比例的有：③、⑩、(12)、(13)．　　例2一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：2：3，某人走各段路程所用时间之比依次是

4、4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小时3千米，问此人走完全程用了多少时间？　　分析28要求此人走完全程用了多少时间，必须根据已知条件先求出此人走上坡路用了多少时间，必须知道走上坡路的速度（题中每小时行3千米）和上坡路的路程，已知全程60千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是1∶2∶3，就可以求出上坡路的路程．　　解：上坡路的路程：60×=10（千米）　　走上坡路用的时间：10÷3=（小时）　　上坡路所用时间与全程所用时间比：　　走完全程所用时间：÷=（小时）答：此人走完全程共用小时。　　例3一块合金内铜和锌的比是2∶3，现在再加入6克锌，共得新合金36克，求新合金内铜和锌的比？　　分析要求

5、新合金内铜和锌的比，必须分别求出新合金内铜和锌各自的重量．应该注意到铜和锌的比是2∶3时，合金的重量不是36克，而是（36－6）克．铜的重量始终没有变．　　解：铜和锌的比是2∶3时，合金重量：　　36－6＝30（克）．　　铜的重量：30×=12（克）　　新合金中锌的重量：36－12＝24（克）．28　　新合金内铜和锌的比：　　12∶24＝1∶2．　　答：新合金内铜和锌的比是1∶2．　　例4师徒两人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟，完成任务时，两人各加工零件多少个？分析师傅加工一个零件用5分钟，每分钟可加工个零件；徒弟加工一个零件用9分钟，每分钟可加工零

6、件个。师、徒两人效率的比是：，由于两人的工作时间是一定的，根据（一定），工作量与工作效率成正比例．　　解法1：设师傅加工x个，徒弟加工（168－x）个．解得x＝108．　　168－x＝168－108＝60（个）．　　答：师傅加工108个，徒弟加工60个．解法2：由于师、徒两人工作效率的比是，那么他们工作量的比也是，因此师傅工作量是徒弟工作量的÷=（倍），徒弟的工作量为1倍量。168÷（÷＋1）=60（个）（徒弟）60×（÷）=108（个）（师傅）解法3：师傅每分钟加工个，徒弟每分钟加工28个，用相遇问题思考方法可求出两人各用了多少分钟。然后用师、徒每分钟各自的效率，分别乘以540就是各自加

7、工零件的个数。168÷（＋）=540（分钟）×540=108（个）×540=60（个）解法4：按比例分配做。∵：=9：5∴168×=108（个）168×=60（个）　　例5洗衣机厂计划20天生产洗衣机1600台，生产5天后由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天？　　分析这是一道比例应用题，工效和工时是变量，不变量是计划生产5天后剩下的台数．从工效看，有原来的效率1600÷20＝80台/天，又有提高后的效率80×