2013年全国大学生数学建模竞赛国家一等奖论文 c题古塔的变形

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1、古塔的变形摘要本文要求根据测绘公司对古塔的4次测量数据，给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并分析古塔的变形情况及其变形趋势。为了计算的精度，我们首先对各变形量进行了合理的数学定义，并对附录的缺失数据进行合理的赋值。对于问题一，我们通过最小二乘法拟合出观测点所在平面，再建立优化模型，在拟合平面上寻找到各观测点距离的平方和最小的点作为古塔该层的中心点。利用MATLAB编程求解，得到了每次观测古塔各层中心坐标的通用方法及各层的中心点坐标。对于问题二，我们将古塔的倾斜、弯曲和扭曲等变形情况，分别给予合理的数学描述。对于倾斜变形，我们定义了倾斜角，即塔尖与底层中心的水平距离与塔高的

2、比值；对于弯曲变形，我们定义了弯曲率K，即用中心点所拟合出的空间曲线的曲率来描述古塔各处弯曲率；对于扭曲变形，我们定义了相对扭曲度，利用坐标的旋转变换角度描述古塔的扭曲变形情况。利用空间曲线拟合、坐标变换等方法以及MATLAB程序，分别求出了三个变形刻画量的量化指标。对于问题三，我们考虑通过古塔的倾斜、弯曲及扭曲程度来分析古塔的变形趋势。由于数据量较少，我们建立灰色预测模型分析这三种变形因素的变化趋势，利用相应的MATLAB程序，得到了倾斜角、弯曲率以及相对扭曲度的预测函数和误差检验，验证了模型的可靠性，并继而分析古塔的变形趋势。本文巧妙地将各种变形量给予了合理的数学描述及

3、模型，并运用最小二乘法、曲线投影拟合、坐标变换等数学方法实现了求解，并利用灰色预测对未来变形趋势进行了预测，具有较好的实用性和可推广性。关键词：古塔变形；最小二乘拟合；空间曲线曲率；坐标矩阵变换；灰色预测；11、问题重述由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。请你们根据附件1提

4、供的4次观测数据，讨论以下问题：1.给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。2.分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。3.分析该塔的变形趋势。2、模型的假设1.由于中国古代建筑物多为对称图形，假设古塔是对称的。2.假设每次古塔的测量点选取是固定的。3.假设测量数据都是准确可靠的。4.假设古塔的变形只由倾斜、弯曲和扭曲变形造成，不考虑其他因素。3、变量说明(xk(),y(),z())kk：第k次测量时第i层第j个观测点的观测坐标ijijij（i1,2,,13，j1,2,,8，k1,2,3,4）；***(xkyk(),(),z())k：第

5、k次测量时第i层中心点坐标（i1,2,,13，k1,2,3,4）；iii(x(),ky(),z())kk：第k次测量时塔尖第j个观测点的观测坐标jjj（j1,2,,4，k1,2,3,4）***((),xkyk(),z())k：第k次测量时塔尖的中心点坐标（k1,2,3,4）dk()：第k次测量时第i层第j个观测点与该层中心点的距离ij2（i1,2,,13，j1,2,,8，k1,2,3,4）；zAkxBkyCk()()()：第k次测量时第i层观测点的拟合平面方程iii（i1,2,13，k1,2,3,4）；Hk()：第k次测量时古塔的塔高

6、（k1,2,3,4）；dk()：第k次测量时古塔的塔尖与塔的底层中心的水平距离（k1,2,3,4）；()k：第k次测量时古塔的倾斜角（k1,2,3,4）；2xt()akt()bktck()()k1112yt()akt()bktck()()：第k次测量时古塔各层中心点的拟合曲线k222zt()tk（k1,2,3,4）；K：第k次测量时古塔的弯曲率（k1,2,3,4）；k()k：第k次测量时古塔第i层第j个观测点相对于上次测量的扭曲度ij（i1,2,,13，j1,2,,8，k2,3,4）；i()k：第k次测量时古塔第i层相对于上次

7、测量的平均扭曲度（i1,2,,13，k2,3,4）；((),())pkqk：第k次测量时古塔第i层相对于上次测量的水平坐标平移量ii（i1,2,,13，k2,3,4）(0)x：灰色系统原始数据序列；(1)x：灰色系统原始数据一次累加序列；(1)(0)x：灰色系统原始数据一次累减序列；(1)z：灰色系统原始数据一次累加序列的均值序列；4、模型准备4.1对建筑物变形、倾斜、弯曲、扭曲的理解3[1]根据《中华人民共和国行业标准建筑变形测量规范(JGJ8—2007)》,我们对以下关键概念进行了定义