向量射影在几何解题中的应用

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1、维普资讯http://www.cqvip.com数学教学研究2005年第1期程．那幺，也许会为预测率题的解题方向提供r居f1)符2(m一2)>2，即，rl>3时，IMAj：：路．2m一5=3，．‘．m：4；解设椭圆D的中心0(。，0)，B(。，Yo)，(2)若2(m一2)≤2，即≤3时，lMAl没有F(2，0)，准线=一2，如图3，由题意得最小值．所以当m：4时，0=4，Yo：±2，0(4，0)，．~／(0—2)+0—2一。+2一’对应椭圆D中，b=2，c=2，n=12，椭圆D的方(注：算NO：是数学解题中的重要方法)程是+等：1．·

2、．．y20=4(xo一2)(‰>2)，点肘(等+l'等)，在具体的教学实践中，教师不要光顾着一节课讲了多少道例题，把数量作为追求的目标，而应把时则lMAl=(等+1一m)+孚问和力气花在师生对问题的共同探究上，尤其对于Xo较复杂的综合题，更是要去积极分析条件，理清其层=+(1一m)。+(1一m)+(一2)4次关系，预测解题方向，做到未雨绸缪，这样才能更=÷一2(m一2)]+(2m一5)．加有效地提高学生的思维能力．向量射影在几何解题中的应用宋波赵欣庆(1．兰州连城铝业有限责任公司中学730335，2．西北师范大学数信学院2002级教育

3、硕士730070)人教版高中《数学》中，·占：lll占lcosG，例1已知直线AB和f所成的角为30。，分别过cl)，称为向量和否的数量积，I占lcosG，)叫做向点A和B点作直线f的垂线，垂足分别为A、B，设AB2量占在向量方向上的射影(或投影)．不论平面向口=口，则AB的长为量，还是空间向量，其射影都具有明显的几何意义，解由向量射影的定义可得，A'B的长度就是他的引进，对解决几何问题提供了一个方便、实用的向量赢在直线l上射影的长度，故lA'B，l：ll赢l工具．但目前教材和相关的参考书大都仅局限于向。。

4、量射影的介绍，对于向量射影在几何解题中的应用讲得很少，其应用没有得到很好的挖掘．笔者在教学1．2利用向量射影公式求线线夹角过程中发现，如能结合向量射影的有关知识，灵活应求直线与直线所成的夹角，可转化为求与其中用向量射影，可降低解题的难度，其思路明确。易于一直线共线的向量和该向量在另一直线上的射影所下手，过程较为程序化，便于掌握．下面举例说明向成的锐角．量射影在几何解题中的一些应用．例2(人教版高中1向量射影公式的应用《数学》第二册(下B)80对数量积公式·占：lll占Icos<，吾)变形，页第7题)一条直线夹可得向量射影公式在一个直二

5、面角的两1、面内，它和两个面所成⋯cos()=等10l．，的角都是30。，求这条线1．1利用向量射影公式求射影的长度段与这个二面角的棱所图1求向量在已知直线上的射影的长度，就是对向成的角．量射影公式的直接应用．维普资讯http://www.cqvip.com2005年第1期数学教学研究35解如图1，n—l一口是直二面角，作AA上f于异面直线MN与A1B间的距离，所以A，BB上f于曰，则LABA=LBAB=30。，且A’Bd：l1MAt1．c。(，元)l-是向量在棱z上的射影．I一3×4—2×3+2×6l6√设l苕l：o，则A，曰：o，

6、曰，曰：{o，一一61‘、1．4利用向量射影公式求点到平面的距离·．．A～B=~，’曰一BB“=o．点到平面的距离，可转化为去求以该点为端点又由A曰=lA百lcos(A百。A'B)，得的斜线段所成的向量到该平面的法向量上的射影／Y,长．cos(，)==等=孚，例4(2004年甘肃省第二次高考诊断试‘．．(A百，A’曰)=45。，即线段A曰与棱f所成的角卷第19题(Ⅱ))如图为45。．3，在棱长为1的正方体注此题学生们都是用向量夹角公式解答的，AC中，过BD及BC的但解题过程较繁．中点E作截面BEFD交1．3利用向量射影公式求两异面直线

7、问的距离CD于求点A到平求两异面直线间的距离，可转化为先求得两直图3面BEFD的距离．线的公共“法向量”，然后在两直线上各取一点，得到解以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D以这两点为起点和终点的向量，最后利用向量射影公式求出该向量在公共“法向量”上的射影长就是—xyz，则有D(O，0，0)，B(1，1，0)，E(÷，1，1)，A(1，两异面直线间的距离．0，1)，所以：(1，0，1)．赢：(一1，0，1)，D雪：(1，1，0)．没平面BEFD的法向量为=(，)，，：)且上DB，n上BE，r．赢：，，：0，‘解呻以一点A为坐标图2·‘赢

8、：一+：：0，原点，建立如图2所示的空间直角坐标系A—xyz，则有A(0，0，0)，A(0，0，解得{12)，8(0，4，0)，B，(0，4，2)，C(3，4，0)，D(3，0，0)，【。了M(3，2，0)，N(O，4，