导数学习易错点归纳

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1、维普资讯http://www.cqvip.com圈『盈口，_r一一}一一⋯÷～一一日一一一一⋯⋯⋯一⋯～⋯{⋯一⋯～*jjjljj上●j河南教育社韩可立导数作为一种工具，在求函数的单调性、最值和剖析：由导数的几何意义知f(。)是曲线切线方程等问题时极为方便，可以解决许多初等数学一厂()在点(。，f(x。))处的切线的斜率，其中点中需要很高技巧性的问题．但学生在学习导数时，由(。，f(x。))在曲线上，而点A(一1，4)显然不在曲线于对导数基本概念、理论的理解存在着误区，致使在上．故上述解法不正确．应用时常常出错．本文对有关的易错点举例加以归正解：设切点坐标

2、为P(x。，y。)，则y。一一5x：纳，供参考．+60．易错点一：忽视了“过某点的切线”与“在某点处则过点P的切线方程为Y—Yo一(3x一10xo的切线”的差别+6)(—0)，例1过曲线一+2上一点(1，3)的切线方即一(3x一10x0+6)一2+5．程是．——因其经过点A(一1，4)，代入上面切线方程可求错解：因为Y一3x。+2，故YJ：。一5，所以所求得z0—1，或0一√5，或0一一√5．切线方程为一3—5(一1)，整理即5—一2—0．将。的值分别代入切线方程，得到三条切线方剖析：求切线方程时，一定fl、，程：一一+3，y一(21—10√5)+25—1

3、0√5和Y要注意是求过某一点的切线方程还是求在某点处的切线方程．，一(21+10)+25+10．lo，前者可能会有多个结果，而后者易错点二：对切线的特性没有理解透彻通常只有一个结果．比如，对图1图1例3求曲线C。：—与曲线Cz：Y一的公所示的函数图象，z。、z、如都是过P点的切线，z。则切线的斜率．是在P点处的切线．过曲线上一点的切线和在某点处错解：对C。、C分别求导得Y一2x和Y一3x．的切线是两个不同的概念．令2x=3x，解得一0或一詈．正解：设切线在曲线上的切点为(。，+2x。)，而yJ：一3z+2，故切线方程为y—一2x。当一0时，2x一3x一0；

4、当一詈时，2x一3x一(3x：+2)(—0)．①4由题意，该切线过点(1，3)．一百．所以公切线的斜率是0或．从而有3一一2x。一(3x十2)(1一。)，整理但当公切线的斜率为0时，切线方程为Y一0，它得(0—1)(2x0+1)一0．穿过曲线Y一，可是曲线的切线都在曲线的同一1侧，因此0不是公切线的斜率．所以，所求公切线斜率所以。一1或。一一妄，于是代入①就不难得到厶切线方程为5—一2—0或11一4+1—0．为詈．评注：事实上，过某点的切线中，该点不一定是切剖析：上面的解法有两处错误．其一，斜率为0的点；在某点处的切线中，该点则是切点．切线是存在的．虽然它

5、穿过曲线Y一，但从切线定例2求经过点A(一1，4)的曲线y一一5x义看，该直线可以看做曲线—上在原点。附近有+6x的切线方程．一点P，点P沿着该曲线无限趋近于原点。时割线错解：Y一3x一10+6，YJ一l一19．PO的极限位置，这些割线斜率的极限为0，所以一0故过点A(一1，4)的曲线的切线方程为y一4—是它们的公切线．其二，当一告时，2x=3x一÷，此19(z+1)，即19x—Y+23—0．维普资讯http://www.cqvip.com一0，且．厂(1)一10，即2n+b+3—0，且a+a+b+1时C的切线方程是一百4一4(一詈)，而C的切—10，解之

6、得a一4，6一一11，或a一一3，6—3．线方程是一8一剖析：错误的主要原因是对f(x。)为极值的充要4(一詈)．显然两者不是同一条条件理解不清，把f(x。)为极值的必要条件当做了充直线，也就谈不上÷是公切线斜率了．产生该错误的要条件．厂(。)为极值的充要条件是f(。)一0且／()在z。附近两侧的符号相反．所以后面应该加原因是在开始对两曲线求导并令其相等时，实际已经上：因为当a一4，b一一11时，f()一3x+8x一11默认了公切线与两曲线切于同一点．事实上，通过解一(3x+11)(一1)，／()在一1附近两侧的符号方程2x=3x，解得一0时，相应切线一0

7、与两曲0相反，故．厂()在一1处有极值．图象如图2所示．线是相切于同一点(0，0)，而当一÷时，在曲线c【上切点为(詈，吾)，在曲线C2上切点却为(詈，)，即虽然横坐标相同，但纵坐标却不同了．这两点显然f一不是同一点．正确的思路应该是分切点相同时和切点D不同时两种情况讨论．当切点相同时，解法同上，但要图2图3。剔除一÷的情况(不合题意)；当切点不同时，先在．．a一4，6一一11．而当a一一3，6—3时，f()一3(一1)，f()两曲线上分别取一点，使这两点的导数相等并等于这在一1附近两侧的符号相同，厂()在一1处并没两点连线的斜率，再通过解方程组得到正确结

8、论．有极值，图象如图3所示．所以a一一3，b一3应正解：当公切线切