从一般集类上的测度到Lebesgue测度的几点思考-论文.pdf

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1、第16卷第3期黄山学院学报Vo1．16．NO．32014年6月JournalofHuangshanUniversityJun．2014从一般集类上的测度到Lebesgue测度的几点思考李丽(黄山学院数学与统计学院，安徽黄山245041)摘要：从一般测度论的角度，对Lebesgue测度的本质加以总结，从定义域和对应法则两个方面进行阐述，使Lebesgue测度理论更加清晰，同时给出了该章节教学中的指导意见。关键词：代数；广义集函数；外测度；测度；Caratheodory条件中图分类号：0174．12文献标识码：A文章编号：1672—447x

2、(2014)03—0112—03法则两个方面对Lebesgue测度的本质加以总结．说0引言明了Lebesgue测度实质上是定义在R的某个子集类上，取值于广义实数系，同时满足空集对应值为Lebesgue测度和Lebesgue积分是实分析的主0、非负性、可数可加性3个条件的一个集函数，使要内容。那么，什么是测度呢?简单地说，测度是测Lebesgue测度理论更加清晰，同时给出了该章节教量几何区域的一种尺度，是“长度”、“面积”、“体积”学中的指导意见。的推广。测度论不仅是积分论的基础，也是概率论、现代分析等数学分支和其他一些科学领域的重要1一

3、般教材中Lebesgue测度的引入方式工具之一。1884年Cantor借助于邻域对直线上的有界点集定义了测度，但这种定义方式破坏了测度应在n维欧氏空间中，首先考虑一类特殊的有的有限可加性。1892年Jordan对测度的定义加以点集：n维开区间改进，利用“内填外包”的思想定义点集的外测度和』_-{(I2，⋯)：q<<6i=1，⋯，nl内测度，当内外测度相等时称集合可测，这种测度它的“体积”为称为J测度，但J测度仍有明显的缺点；1898年。I，I=lJ(一ai)i=1Borel给出了Borel集的概念，对Borel集类定义了当然，对于其它类

4、型的区间。也有类似的“体积”测度；1902年，Lebesgue在”欧氏空间中建立起比的定义。那么如何把这里“体积”的概念推广到一般Borel集族更广泛的集类上建立了测度，也就是的点集上呢?多数实变函数教材中，例如文献，【3，4J都Lebesgue测度，推动了测度论的发展【“。1914年。F．Riesz定义了环上的测度；1915年Fredchet提出在是先引入点集外测度m’的概念，然后通过一般or一代数上的抽象测度[21；1918年，CaratheodoryCaratheodory条件给出可测集的定义和Lebesgue测从可加性出发，在外

5、测度基础上诱导可测集类，这度的定义。虽然Caratheodory条件初看起来有些突就是我们通常定义可测集的方式。兀，但这是迄今为止最简捷的可测集导入方法。本文在一般测度论的基础上，从定义域和对应也有的实变函数论著作是分别定义点集的内收稿日期：2013-02-11基金项目：安徽省教育厅教学团队项目(2013jxtd033)作者简介：李丽(1984一)，河南新蔡人，黄山学院数学与统计学院助教，硕士，研究方向为微分算子谱理。笙三李丽：从一般集类上的测度到Lebesgue测度的几点思考．113．测度m。和外测度m’，当一个集合的内测度和外测度面

6、来进行诠释。相等时定义为可测集[51，想法自然但过程繁琐，本科3．1外测度教材中一般不采用。设剐黾的所有子集构成的集类，对于中任意点集E，将所有覆盖E的开区间列体积和的下确2一般集类上的测度界定义为E的外测度，记为m'E，即：，，l’E=inf∑数学上，测度的本质是一个函数，它包含两个E~UI,基本要素。第一，1个基本空间及该空间上某些子集当然，m也可能等于+∞。构成的集类(定义域)；第二，定义域中任何1个集外测度m：U{}本质上是一个广义集合如何与1个数相对应(对应法则)。下面就从这两函数，值域中包含+∞。由定义可知，R中的任何点个方

7、面给出测度的定义。集都有外测度，并且容易证明，外测度具有非负性，2．1环与or代数单调性，次可数可加性。定义1：姐为一个集合。吼为上的一个非空3．2Lebesgue可测集与Lebesgue测度集类。如果，E2∈孵，都有因为外测度m’不具有可数可加性，所以不能成巨U∈吼，巨一∈孵．为测度。但是我们可以通过限定m’的定义域，使其则称吼为上的一个环；如果还有Xe毗，就称吼为在限定后的集类上满足测度的条件。下面就需要一上的一个代数(或称为域)。个准则，用来选择出我们需要的集合，这就是如果环孵对可数并运算封闭，则称婀为上的Caratheodory

8、条件：一个；若还有Xe婀，就称贸为上的一个代VT∈R，m’T=m’(nE)+m(nE)数(或称为域)。满足该条件的点集成为Lebesgue可测集。2．2测度将全体I~besgue可测集所构成的集类记为，定义