数学物理方法解析函数

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1、1数学物理方法数学是科学的大门和钥匙，忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。——（英）R.培根教材：《数学物理方法》（第二版）姚端正梁家宝编著任课教师：刘辛3数学物理方法复变函数篇数学物理方程篇特殊函数篇数学物理方法复变函数篇41.1复数及其运算数的扩张（完善化）自然数（+负整数）整数（+分数）有理数（+无理数）实数（+虚数）复数5第一章解析函数复数概念：一对有序的实数（x，y）代数表示z=x+iyx=Real(z)（实部）,y=Imagine(z)（虚部）,i2=-1(虚单位）几何表示关系x=rcosφy=rsin

2、φφ=Arctan(y/x)特点无序性复数无大小（模比较大小）矢量性复数有方向6任一复数z≠0有无穷多个辐角（相差2kπ），以argz表示其中在2π范围内变换的一个特定值，称之为辐角的主值，通常取-π＜argz≤π则Argz=argz+2kπ（k=0，±1，±2，…）z处于第一象限：argz=arctan（y/x）；第二象限：argz=arctan（y/x）+π；第三象限：argz=arctan（y/x）-π；第四象限：argz=arctan（y/x）。7三角表示z=r(cosφ+isinφ)r=z（模）,φ=Arg(z)（辐角）指数表示z=rexp(iφ)exp(iφ

3、)=cosφ+isinφ代数表示z=x+iyx=Re(z),y=Im(z)复数的表示89实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.例解.,的积是实数两个共轭复数zz结论：共轭复数10共轭复数的性质以上各式证明略.11例1证.(2);(1):,,2121212121zzzzzzzzzz+£+=证明为两个任意复数设12两边同时开方得同理可证：13设z1=x1+iy1和z2=x2+iy2是两个复数加减运算z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)复数加减法满足平行四边形法则z1+(-z2)-z2复数的运算交换律、结合律、分配律成立14乘法运算两个复数相乘等于它

4、们的模相乘，幅角相加除法运算两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减乘方运算当r=1时上式对所有n取整数，恒成立。1516开方运算从这个表达式可以看出：1）当k=0,1,2…n-1时，得到n个相异的值；当k取其他整数值时，将重复出现上述n个值。因此，一个复数z的n次方根有且仅有n个相异值。2）上述n个方根具有相同的模，而每个相邻值的辐角差为2π/n，故在几何上，w的n个值分布在以原点为中心，r1/n为半径的圆内接正n边形的顶点上。17模有限的复数和复数平面上的有限远点是一一对应的。复变函数理论中无穷大也理解为复数平面上的一个“点”，称为无限远点，记为∞，其模大于任何正数，

5、辐角不定。平面上的具体点难以描绘无限远点，为此引入复球面的概念。把一个球放在复平面，使其南极S与复平面相切于原点，复平面上任一点A与球的北极N连线交与球面A’点，则复平面上每一有限远点与球面上的点一一对应（此对应称测地投影），A无限远离o时，A‘点无限趋近于N，故可将N看做无限远点的代表点。此球面称为复球面或黎曼球面，复平面上只有一个无穷远点。AxyoSA‘N1819复平面上的点集定义由不等式(δ为任意的正数)所确定的复平面点集(以后平面点集均简称点集)，就是以z0为中心的δ邻域或邻域。而称由不等式所确定的点集为z0的去心δ邻域或去心邻域。δ20定义设D为点集，z0为D

6、中的一点。如果存在z0的一个邻域，该邻域内的所有点都属于D，则称z0为D的内点；若点z0的某一个邻域内的点都不属于D，则称点z0为D的外点。若在点z0的任意一个邻域内，既有属于D的点，也有不属于D的点，则称点z0为D的边界点，点集D的全部边界点称为D的边界。内点，外点，边界点开集注意区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的。定义若点集D的点皆为内点，则称D为开集Dz0开集21定义点集D称为一个区域，如果它满足：(1)属于D的点都是D的内点，或D是一个开集；(2)D是连通的，就是说D中任何两点z1和z2都可以用完全属于D的一条折线连接起来。通常称具有性质(2)的集

7、为连通的，所以一个区域就是一个连通的开集。区域D加上它的边界C(p)称为闭区域或闭域，记为区域Dz1z2p22邻域z复平面上圆内点的集合内点z和它的邻域都属于D，则z为D的内点外点z和它的邻域都不属于D，则z为D的外点边界点不是内点，也不是外点的点边界全体边界点的集合z区域内点组成的连通集合闭区域区域和边界线的全体区域区域概念总结23xyORxyORxyROr1xyR-ROxOyxOy21曲线如果曲线的实部x(t)和虚部y(t)均为t的连续函数，那么曲线Г就叫连续曲线。对于连续曲线，则曲线没有重点（纽结），则称Г为简单曲线。当时，