仿射变换的应用.pdf

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1、第26卷第4期聊城大学学报(自然科学版)Vol_26NO．42Ol3年12川JournalofLiaochengUniversity(Nat．Sci．)Dec．20l3仿射变换的应用梁秀红。窦龙江于兴江。(1．聊城八中，山东聊城252000；2．聊城文轩中学，山东聊城252000；3．聊城大学数学科学学院，山东聊城252000)摘要利用仿射变换研究了椭圆的性质关键词仿射变换，椭圆，圆中图分类号0182．1文献标识码A文章编号1672—6634(2013)04—0033~03．仿射变换(见El-I)是一种常见的变换，其定义

2、为定义称平面丌到自身的一个变换T为仿射变换，如果对7c上的任意点P(x，)与其像P(，Y)之间的关系，由公式下式确定{1．Tg，l-~-au++a，}mzf≠o．Y=x+a22y+a23’1l一‘仿射变换保持图形的同素性和结合性．所谓保持同索性就是把点(线)变成点，保持结合性就是把点在线上变成点在线上．现在利用仿射变换把圆的几个性质推广到椭圆上．我们知道，半圆上的圆周角是直角．现把推广到椭圆上．』LJ-、l’卜圆上的圆周角I璺I2f

3、精圆的圆周角设椭圆的方程为xzZy⋯n2r～。b西2一1I，则它的两个顶点的坐标为A(-

4、el，o)，B(a，0)．设M(x。，Y。)为椭圆上异于A，B的点，见图2．作仿射变换，ZZ～，n(1)／y一，收稿日期：2013-06—01基金项目：山东省中青年科学研究奖励基金资助(BS20IOSF004)通讯作者：于兴江，E—mail：yuxingjiang@lcu．edu．cn．34聊城大学学报(自然科学版)第26卷则椭圆变成了单位圆：z+Y一1，直线MB和MA的斜翠分另U为忌-Ⅷ一_Y二o，mYo．设椭圆上的点M在上述变换下变成了单位圆上的点M(z。，Y。)，而A和B分别变成A(一1，o)和B(1，O)(见图1

5、)．易见直线B$I1M'A的斜率分别为和享盎，而这二者垂直，所以(。，(y。，(y一一一．’而一一一1于是利用公式(1)得五一毒==·差一52．这就得到下述定理定理1设M是椭圆xZTyZ一1上的一点，A和B是椭圆的两个顶点，则直线MA和MB的斜率之积为常数一b2．口2013年高考数学(全国大纲卷，理科)有这样一道题．椭圆C：莩十等=1的左、右顶点分别为A、A，点P在C上且直线PA。的斜率取值范围是[～2，一1]．那么，直线PA斜率的取值范围是(A)[1，]，(B)[3，丢]，(c)[T,1]，(D)[一3,11．由上述定

6、理，kpAkea=一}，现在一2≤愚PA。≤一1，可见kpA>0．所以一2kpa≤忌PA。kpa≤一lkpa，即一2kpA≤一}≤一lkeA，因此3≤足PA≤}，所以答案为B．M我们知道，对于圆下面的结论成立从圆+一外一点M(m，”)(mn≠O)向圆引切线MA和MB，BA，B是切点，坐标原点0是圆心．则弦AB被直线OM垂直平分．见图3．证我们知道，从圆外一点向圆引切线，若(，)是切点，则切线方、√／程为s+￡一，上．于是fs。+t。一，(2)IsYn+tn一，(3)I冬I3圆上弦AB被直线OM垂直平分将(3)代人(2)，

7、整理得到关于t的二次方程m0+)t2—2，上￡+r4一仇2—0，解之得z一丰．其中，一研如此，便得两组切点坐标A：(s，￡>一(，—r(nr+ma))B：(s。，￡)一(r(mr+na)r(nr-ma))，，．。十从而弦AB的斜率为忌AB：==一署；直线0M的斜率为忌伽=，由于是矗AB一一1，所以OM-~AB垂直．此外，AB之中点的坐标为(2，)一(，)，而0M的方程显然为一z，AB之中点的坐标显然满足OM的方程，这表明OM平分AB．现在，我们把这个结论推广到椭圆上．第4期梁秀红等：仿射变换的应用给定椭圆+一1a2。b2

8、’从它之外一点M(m，")(mn≠0)向椭圆引切线MA，MB，A，B为rJ切点，0为坐标原点，见图4．作仿射变换rZZ0，＆(4)rY，则它把圆x-t-y一r2变成了椭圆_r一1n2。b2’把圆的切点变成了椭圆上的切点，把圆外的一点变成了椭圆外一点，而坐标原点保持不动．设切点A，B的坐标分别为(s，t)和I弩I4ff卣圆上弦AB被线()M分(s2，t／2)，由公式(4)得z一，3，一．于是)一(，_／＼{a(mm：r十-na)，b(nrq-ma)一(S％tt)=(警，等)一(，b¨-(nr-ma)所以，AB的斜率为是AB

9、一一．a7I注意，在仿射变换下，M的坐标-焚J瓯¨am，)，所以oM的斜率为一．由于是惫AB一一≠一1，所以OM不垂直于AB．此外，OM的方程为Y：z，AB之中点坐标为(1—一，’—一)』一(l7—7Z2-~n2，’m2+”z)．它显然满足OM的方程，此表明直线OM平分AB．至此，我们得到下面的结论．定理2给定椭圆x