【全效学习】2020中考数学 专题提升十一 以平行四边形为背景的计算与证明.doc

《【全效学习】2020中考数学 专题提升十一 以平行四边形为背景的计算与证明.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、专题提升(十一)　以平行四边形为背景的计算与证明类型之一　以平行四边形为背景的计算与证明【经典母题】图Z11－1已知：如图Z11－1，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：BE＝DF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD，∵AB＝CD，∴Rt△AEB≌Rt△CFD，∴BE＝DF.【思想方法】　(1)平行四边形是一种特殊的四边形，它具有对边平行且相等，对角线互相平分的性质，根据平行四边形的性质可以解决一些有关的计算或证明问题；(

2、2)平行四边形的判定有四种方法：两组对边平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分．【中考变形】图Z11－21．[2016·益阳]如图Z11－2，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE.求证：AF＝CE.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD.又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB，AE∥CF.∴△AED≌△CFB(AAS)．∴AE＝CF.∴四边形AECF是平行四边形．∴AF＝CE.图Z11－32．[2016·黄冈]如图Z11－3，在▱ABCD中，E，F分别为边AD

3、，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：AG＝CH.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADF＝∠CFH，∠EAG＝∠FCH，∵E，F分别为AD，BC边的中点，∴AE＝DE＝AD，CF＝BF＝BC，∵AD＝BC，∴AE＝CF＝DE＝BF.∵DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE∥DF，∴∠AEG＝∠ADF，∴∠AEG＝∠CFH，在△AEG和△CFH中，∴△AEG≌△CFH(ASA)，∴AG＝CH.【中考预测】图Z11－4[2016·义乌模拟]如图Z11－4，已知E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的点

4、，且BE＝DF.(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若四边形AECF是菱形，且BC＝10，∠BAC＝90°，求BE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，∵BE＝DF，∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形；(2)如答图，∵四边形AECF是菱形，∴AE＝EC，中考预测答图∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90°，∴∠3＝90°－∠2，∠4＝90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE＝BC＝5.类型之二　以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明【经典母题】如图Z11－5，在菱形ABCD中，

5、E，F分别是BC，CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD.求菱形各个内角的度数．　图Z11－5　　经典母题答图解：如答图，连结AC.∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC，AF⊥CD且E，F分别为BC，CD的中点，∴AC＝AB＝AD＝BC＝CD，∴△ABC，△ACD均为等边三角形，∴菱形ABCD的四个内角度数分别为∠B＝∠D＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°.【思想方法】　要掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，采用类比法，比较它们的区别和联系．对于矩形的性质，重点从“四对”入手，即从对边、对角、对角线及对称轴入手；判定菱形可以从一般四边形入手，也

6、可以从平行四边形入手；正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质．【中考变形】图Z11－61．[2017·日照]如图Z11－6，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△DCA≌△EAC；(2)只需添加一个条件，即__AD＝BC__，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．解：(1)证明：在△DCA和△EAC中，∴△DCA≌△EAC(SSS)；(2)添加AD＝BC，可使四边形ABCD为矩形．理由如下：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，由(1)得△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E

7、＝90°，∴四边形ABCD为矩形．故答案为AD＝BC(答案不唯一)．图Z11－72．[2017·白银]如图Z11－7，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形；(2)当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE＝x，则

8、DE＝x，AE＝6－x，在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，∴x2＝42＋(6－x)2，解得x＝，∵BD＝＝2，∴O