《正多边形和圆》导学案.doc

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1、24.3　正多边形和圆　　1.知道正多边形和圆的关系,知道正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.2.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.3.会用量角器等分圆,会用尺规作图作圆内接正方形和正六边形.4.重点:能用正多边形的知识解决问题;会用量角器等分圆周;会用尺规作图作圆内接正方形和正六边形.　　【旧知回顾】各边　相等　、各角也　相等　的多边形叫做正多边形. 知识点　正多边形的有关概念及计算阅读教材本课时第一个“练习”前面的内容,解决下列问题.1.正多边形和圆有的关系非常密切,只要把一个圆分成　相等　的一些弧

2、,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是正多边形的　外接圆　. 2.由教材中证明五边形ABCDE是正五边形的思路可知,证明这个多边形是正n边形的证明思路:弧相等⇒⇒⇒多边形是正多边形.3.　正多边形的外接圆的圆心　叫做这个多边形的中心;　外接圆的半径　叫做正多边形的半径;　正多边形每一边所对的圆心角　叫做正多边形的中心角;　中心到正多边形一边的距离　叫做正多边形的边心距. 【归纳总结】分别计算半径为R的圆内接正三角形、正方形、正五边形的有关数据,填写下表:图形中心角边心距边长周长面积正三角形120°Rcos60°2

3、Rsin60°6Rsin60°R2sin60°正方形90°Rcos45°2Rsin45°8Rsin45°2R2sin90°正五边形72°Rcos36°2Rsin36°10Rsin36°R2sin72°正n边形Rcos2Rsin2nRsinR2sin　　【预习自测】若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍,则正多边形的边数是(C)A.4　　　　　　B.6　　　　　　C.8　　　　　　D.10知识梳理　圆内接正多边形的画法阅读教材本课时两个“练习”之间的内容,解决下列问题.1.同圆中相等的圆心角所对的　弧　相等,因此作

4、相等的　圆心角　就可以等分圆周,从而得到相应的正多边形.我们可以用量角器将一个圆n(n≥3)等分,依次连接各等分点得　正n　边形. 2.对一些特殊的正多边形,可以用圆规和直尺来作,如先画出两条互相垂直的　直径　,将圆　四　等分,依次连接各分点得　正方　形;用圆规从圆上一点顺次截取等于半径的　弦　,依次连接各分点得　正六　边形.在此基础上,可作正八、十二、十六、二十四边形. 【预习自测】下列正多边形,通过直尺和圆规不能作出的是(C)A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形互动探究1:如图,△PQR是☉O的内接三角形

5、,四边形ABCD是☉O的内接正方形,BC∥QR,则∠DOR的度数是(D)A.60°B.65°C.72°D.75°互动探究2:画一个半径为2cm的正五边形,再作出这个正五边形各条对角线,画出一个五角星.解:画法(1)以O为圆心,OA=2cm为半径画圆;(2)以O点为顶点,OA为一边作角∠AOB=72°,再依次作∠BOC=∠COD=∠DOE=72°,分别与圆交于点B、C、D、E;(3)分别连接AB,BC,CD,DE,EA.则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形;(4)分别作出此正五边形的对角线,得到一个五角星.(如下图)

6、互动探究3:如图,△ABC是☉O的内接等腰三角形,顶角∠BAC=36°,弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB,求证:五边形AEBCD是正五边形.证明:∵△ABC是等腰三角形,∠BAC=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°.又∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB,∴∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=36°=∠BAC,∴====,∴BC=CD=AD=AE=BE.又∵∠ACD=∠ABD=36°,∴∠BCD=108°,同理可证∠EBC=∠AEB=∠DAE=∠ADC=108°,故五边形AEBCD是正五边形.【方法归纳交

7、流】要说明一个多边形是正多边形,即要说明这个多边形的每个角都　相等　,也要说明每条边也　相等　. 互动探究4:如图1、2、3、…、n,M、N分别是☉O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点,且BM=CN,连接OM、ON.(1)求图1中∠MON的度数;(2)图2中∠MON的度数是　90°　,图3中∠MON的度数是　72°　; (3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).解:(1)连接OB、OC,∵等边△ABC内接于☉O,∴∠OBM=∠O

8、CN=30°,∠BOC=120°,∵BM=CN,OB=OC,∴△OBM≌△OCN,∴∠BOM=∠CON,∴∠MON=∠BOC=120°.(3)∠MON=.