二次函数的三种表达形式.doc

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1、个人收集整理-ZQ·二次函数地三种表达形式：①一般式：(≠、、为常数)，顶点坐标为[,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出、、地值.②顶点式：()(≠、、为常数),顶点坐标为对称轴为直线，顶点地位置特征和图像地开口方向与函数地图像相同，当时，最值.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式.例：已知二次函数地顶点()和另一任意点()，求地解析式.解：设()，把()代入上式，解得().注意：与点在平面直角坐标系中地平移不同，二次函数平移后地顶点式中，>时，越大，图像地对称轴离轴

2、越远，且在轴正方向上，不能因前是负号就简单地认为是向左平移.具体可分为下面几种情况：当>时，()地图象可由抛物线向右平行移动个单位得到；当<时，()地图象可由抛物线向左平行移动个单位得到；当>>时，将抛物线向右平行移动个单位，再向上移动个单位，就可以得到()地图象；当><时，将抛物线向右平行移动个单位，再向下移动个单位可得到()地图象；当<>时，将抛物线向左平行移动个单位，再向上移动个单位可得到()地图象；当<<时，将抛物线向左平行移动个单位，再向下移动个单位可得到()地图象.6/6个人收集整理-

3、ZQ③交点式：()()(≠)[仅限于与轴即有交点时地抛物线，即≥].已知抛物线与轴即有交点（，）和（，）,我们可设()(),然后把第三点代入、中便可求出.由一般式变为交点式地步骤：二次函数∵，(由韦达定理得),∴()[()]()().重要概念：，，为常数，≠，且决定函数地开口方向.>时，开口方向向上；<时，开口方向向下.地绝对值可以决定开口大小.地绝对值越大开口就越小，地绝对值越小开口就越大.能灵活运用这三种方式求二次函数地解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中地应用；能熟练地运用二次函数解决实

4、际问题.b5E2R。·二次函数解释式地求法：就一般式＋＋（其中，，为常数，且≠）而言，其中含有三个待定地系数，6/6个人收集整理-ZQ，．求二次函数地一般式时，必须要有三个独立地定量条件，来建立关于，，地方程，联立求解，再把求出地，，地值反代回原函数解析式，即可得到所求地二次函数解析式.p1Ean。.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：＝(－)(－)（≠），分别是抛物线与轴两个交点地横坐标.已知抛物线与轴两个交点地横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便.①典型例题一：告诉抛物线与轴地两个交

5、点地横坐标，和第三个点，可求出函数地交点式.例：已知抛物线与轴交点地横坐标为和，且通过点（，），求二次函数地解析式.点拨：解设函数地解析式为＝()()，∵过点（，），∴＝()().解得，∴抛物线地解析式为：＝()()，即＝.②6/6个人收集整理-ZQ典型例题二：告诉抛物线与轴地两个交点之间地距离和对称轴，可利用抛物线地对称性求解.例：已知二次函数地顶点坐标为（，），并且图象与轴两交点间地距离为，求二次函数地解析式.点拨：在已知抛物线与轴两交点地距离和顶点坐标地情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为

6、（，）地条件，易知其对称轴为＝，再利用抛物线地对称性，可知图象与轴两交点地坐标分别为（，）和（，）.此时，可使用二次函数地交点式，得出函数解析式.DXDiT。.巧用顶点式：顶点式(－)（≠），其中（，）是抛物线地顶点.当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数.在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题.在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点地坐标，直接可以解出

7、函数顶点式.例：已知抛物线地顶点坐标为（，），且通过点（，），求此二次函数地解析式.点拨：解∵顶点坐标为（，），故设二次函数解析式为()（≠）.把点（，）代入上式，得·().∴.∴二次函数地解析式为()，即.②6/6个人收集整理-ZQ典型例题二：如果>，那么当 时，有最小值且最小；如果<，那么，当时，有最大值，且最大.告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式.例：已知二次函数当＝时有最小值－，且它地图象与轴两交点间地距离为，求这个二次函数地解析式.点拨：析解∵二次函数当＝

8、时有最小值－，∴顶点坐标为（，），对称轴为直线＝，抛物线开口向上.由于图象与轴两交点间地距离为，根据图象地对称性就可以得到图象与轴两交点地坐标是（，）和（，）.∴抛物线地顶点为（，）且过点（，）.故可设函数解析式为＝(－)－.将（，）代入得＝(－)－,解得＝．∴＝(－)，即＝－＋.③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点地横坐标，综合其他条件，也可解出.例如：（）已知二次函数地图象经过点（，）和（，），且对称轴是直线＝．求这个二次函数地解析式. （）已知关于地二次函数图象地对称轴