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1、平面向量【知识梳理】（1）平面向量基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（主要应用于线性表示）（2）非零向量的单位向量为或。（3）证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.(4)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.（5）向量数量积：=（6）求夹角问题，利用夹角公式cosθ＝＝(θ为a与b的夹角)．知识网络向量
2、向量的概念向量的运算向量的运用向量的加、减法实数与向量的积向量的数量积平面向量的基本定理及坐标表示物理学中的运用几何中的运用两向量平行的充要条件两向量垂直的充要条件向量的夹角向量的模两点间的距离-11-平面向量单元复习题型一:向量的加、减法运算及相关运算律1.平面向量坐标的求法已知，，则2．平面向量的坐标运算已知，（1）向量的加法：，（2）向量的减法：（3）向量的数乘：.例1．平面内有三个已知点A(1，－2)，B(7，0)，C(－5，6)，求，，＋，－，2＋，－3．变式练习1：若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则
3、-2=.变式练习2：化简变式练习3：平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状是______．定比分点问题例2．若M(3，-2)N(-5，-1)且，求P点的坐标-11-变式练习1：已知A（-2，4）、B（3,-1）、C（-3,-4）且=3,=2,求点M、N及的坐标.变式练习2：已知点A（-1，2），B（2，8）以及=，=-，求点C、D的坐标和向量的坐标.题型二：利用一组基底表示平面内的任一向量（平面向量基本定理）例3．在△OAB中，，AD与BC交于点M，设=，=，用,表示.变式练习1：若
4、已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是()A．与—B．3与2C．＋与—D．与2变式练习2：在△ABC中，=,EF∥BC,EF交AC于F,设,,则用、表示的形式是=_________.题型三:三点共线（平行）问题-11-字母运算：向量与非零向量共线当且仅当有唯一一个实数，使得。坐标运算：已知，，则a//bó例4．设两个非零向量e1和e2不共线.如果AB=e1-e2，BC=3e1+2e2，CD=-8e1-2e2，求证：A、C、D三点共线；变式练习1:设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k
5、的值例5．已知O为原点，A、B、C为平面上的三点，求证（1）若A、B、C三点共线，则存在实数α，β且，使得(2)若存在实数α，β且，使得，则A、B、C三点共线变式练习1：已知△ABC的重心为G,O为坐标原点,=,=,=,求证:=(++).-11-例6．已知向量，，若∥，则锐角等于（）A．B．C．D．变式练习1：1.若向量=(-1,x)与=(-x,2)共线且方向相同，则x=_______2.[2011·北京卷]已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________.3.[2011·广
6、东卷]已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝_______变式练习2：已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及，求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限。(2)四边形OABP能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由题型四：向量的数量积问题①求数量积：×=x1x2+y1y2例7.若，，且，则等于（）A、3B、C、D、变式练习：1．（2010广东）若向量a＝(1，1)，b＝(2，5)，c=(3,x),满足条件（8a-b）·c=3
7、0,则x=()A．6B．5C．4D．32.若则（）A．23B．57C．63D．833.(2010·重庆南开中学)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，
8、b
9、＝1，则a·b＝( )A.B．1C.D.-11-4.[2011·江西卷]已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.5.已知_______（其中为两个相互垂直的单位向量）6.则______________例8.则方向上的投影为_________变式练习1：若a＝(2,3)，b＝(－4,7)
10、，则a在b方向上的投影为( )A. B. C. D.思考：已知一个向量，怎么求它所对应的单位向量呢？例9．；变式练习1：变式练习2：已知△ABC，则“”是“△ABC为钝角三角形”的________(条件)②求模：1.[2011·全国卷]设向量a，b满足
11、a
12、＝
13、b
14、＝1，a·b＝－，则
15、a＋2b
