2010《现代控制理论基础》考试题B卷及答案.doc

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1、一．（本题满分10分）请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感的电流强度。【解答】根据基尔霍夫定律得：改写为，输出方程为写成矩阵形式为二．（本题满分10分）单输入单输出离散时间系统的差分方程为回答下列问题：（1）求系统的脉冲传递函数；（2）分析系统的稳定性；（3）取状态变量为，，求系统的状态空间表达式；（4）分析系统的状态能观性。【解答】（1）在零初始条件下进行z变换有：系统的脉冲传递函数：（2）系统的特征方程为特征根为，，，所以离散系统不

2、稳定。（3）由，，可以得到由已知得于是有：又因为所以状态空间表达式为（4）系统矩阵为，输出矩阵为，能观性矩阵为，，系统完全能观。三．（本题满分10分）回答下列问题：（1）简述线性系统的对偶原理；（2）简述线性定常系统的状态稳定性与输出稳定性的相互关系；（3）输入输出阶线性解耦系统等效于多少个独立的单输入单输出系统？【解答】（1）若线性系统1与线性系统2互为对偶，则系统1的能控性等价于系统2的能观性，系统1的能观性等价于系统2的能控性。（2）若线性定常系统的状态稳定，则输出必稳定，反之，若线性定常系统的输出稳

3、定，则状态未必稳定。当且仅当线性定常系统的传递函数没有零极点对消现象时，其状态稳定性和输出稳定性才是等价的。（3）输入输出阶线性解耦系统等效于个独立的单输入单输出系统。四．（本题满分10分）设有一个2阶非线性系统，其状态方程为，判断该系统在坐标原点处的稳定性，并证明你的判断。【解】此系统在坐标原点处不稳定。【证明】取李雅普诺夫函数，显然是正定函数，此外，沿着状态轨线的导数为：显然是正定的，所以该系统在坐标原点处不稳定。五．（本题满分10分）设某控制系统的模拟结构图如下，试判断系统的能控性、能观性和稳定性。【

4、解答】根据模拟结构图可得状态空间表达式写成矩阵形式为，，。系统的特征方程为显然系统渐近稳定。系统的能控性矩阵为，显然，满秩，所以系统状态完全能控。系统的能观性矩阵为，显然，满秩，所以系统状态完全能观。六．（本题满分10分）某系统的状态空间表达式为设计一个全维状态观测器，使观测器的两个极点均为。【解答】设全维观测器方程为观测器特征多项式为观测器期望特征多项式为根据多项式恒等的条件得解得，全维状态观测器方程为七.（本题满分10分）证明对于状态空间表达式的线性变换，其特征方程保持不变。【证明】设原线性系统为其特征

5、方程为设线性变换为，变换后的线性系统为该系统的特征方程为写成显然，其特征方程保持不变。证毕八.（本题满分10分）开环系统的结构如图所示：试用状态反馈的方法，使闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间秒（），超调量为，其中一个闭环特征值为。求状态反馈控制律的数学表达式。【解答】将上述方块图该画成模拟结构图，如下：写成状态空间表达式为，即闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间秒（），可得：，，超调量为，解得，所以。期望闭环特征多项式为设状态反馈控制律为，代入可得闭环系统的状态方程闭环特征多项式为根据多项式恒等条件可得：解

6、得：，状态反馈控制律为。