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1、方程的根与函数的零点数学必修1第三章函数的应用哈尔滨市第五十八中学数学组刘翠（一）设问激疑，创设情景问题1:考察下列二次函数与对应的一元二次方程：(1)y=x2-2x-3与x2-2x-3=0(2)y=x2-2x+1与x2-2x+1=0(3)y=x2-2x+3与x2-2x+3=0你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴的交点坐标吗?方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象与x轴的交
2、点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3（一）设问激疑，创设情景（一）设问激疑，创设情景问题2:你所列的表中你能得出什么结论？(1)方程根的个数与对应函数与x轴交点的个数相同,(2)方程的根是函数与x轴交点的横坐标方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象判别式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函数的图象与x轴的交点
3、有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2（一）设问激疑，创设情景问题3:在问题2得出的结论对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)也成立吗?你能根据判别式的不同情况也用表格的形式加以说明吗？（二）启发引导，形成概念问题4:一元二次函数图像与x轴交点的横坐标与相应的一元二次方程的实数根的关系能推广到更一般的情况吗？即对于方程f(x)=0与函数y=f(
4、x)上述结论还适应吗？上述结论适应对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点函数零点的定义：（二）启发引导，形成概念问题5:对于函数y=f(x)有零点可等价于那些说法？方程f(x)=0有实数根问题6:判断对错并说明理由（1）零点是一个点()（2）所有的函数都有零点()（3）若函数有零点，则其零点一定唯一()（4）根据函数零点的定义，若一个函数有零点，则求其零点的方法有：代数法（直接求出其方程的根）、图像法。
5、()√×××看看定义理解如何（三）初步运用，示例练习例1:你能举出几个函数的例子，并判断它们是否有零点吗？若有求出其零点。问题1:观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:发现这个二次函数在区间[－2,1]上有零点x＝－1,而区间端点处的函数值f(－2)>0，f(1)<0即:区间端点处的函数值的积f(－2)·f(1)<0。二次函数在区间[2,4]上有零点x＝3，而区间端点处的函数值f(2)<0，f(4)>0即区间端点处的函数值的f(2)·f(4)<0。有以上两步探索，你可以得到什么样的结论？.x
6、y0－132112－1－2－3－4－24（四）讨论探究，揭示定理函数零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.（四）讨论探究，揭示定理abababyxoyxoyxoabxyoox0221xyab问题2:观察下列函数的图象，并回答下面的问题（1）f(a)·f(b)（）0（2）f(a)·f(b)（）0（3）f(a)·f(b)（）0（
7、4）f(a)·f(b)（）0函数在区间(a,b)上函数在区间(a,b)上函数在区间(a,b)上函数在区间(a,b)上（）零点（）零点（）零点（）零点（5）f(a)·f(b)（）0函数在区间(a,b)上（）零点（6）f(a)·f(b)（）0函数在区间(a,b)上（）零点（7）f(a)·f(b)（）0函数在区间(a,b)上（）零点<<<<>><无无有一个有一个有一个有两个有五个（四）讨论探究，揭示定理问题3:结合问题2的答案，请思考：（1）如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是间断的，上述定理
8、成立吗？（2）如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点，f(a)·f(b)<0是否一定成立？（3）如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并f(a)·f(b)<0，满足上述两个条件后，函数的零点是唯一的吗？还要添加什么条件可以保证函数有唯一的零点？不成立不一定这个函数是单调函数（四）讨论探究，揭示定理问题4:判断对错并说明理由(1)函数零点存在性定理只能判断零点的存在性，不能判断零点的
