尺度函数与小波的构造.doc

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1、.第三章尺度函数与小波的构造§1框架在第一章中，我们将小波变换定义为（3.1）若满足(3.2)那么我们可以从的小波变换重构(3.3)如果我们将参数a和b离散化，令，相应的，那么上述变换和反变换函数将为（3.4)也就是说，我们可以计算连续小波变换的离散值(3.5)现在的问题是，离散化时我们是否丢失了某些关于信号的信息，或者说，我们是否可以从这些离散值重构信号。在多分辨率逼近中，我们讨论了一种最典型的情况，且构成的正交归一基。现在我们打算一般性地讨论这个问题。实际上，在多尺度边缘检测中，我们已放松了对正交性的要求。根据我们即将介

2、绍的框架理论，如存在使(3.6)则我们说集为一个框架。这样我们可以构造一个数值稳定的算法，从小波系数重构..。不难验证，我们在多分辨率逼近中引入的小波级数只不过是（3.6）式中A=B=1的特殊情况。一、框架若存在使得满足(3.7)则我们称构成希尔伯特空间的一个框架。其中A，B称为框架界。若A=B，则我们称之为紧框架。若A=B=1,且，那么框架就是正交归一基。这一结论很容易证明，令(3.7)式中，则有由于，，故上式中。意味着，对于，即构成框架的矢量是两两正交的。由此可以看到，正交归一基确实只是框架的一种特殊情况。对于正交归一基

3、，重构很简单(3.8)上式就是我们提到的广义傅里叶级数，但对于一般的框架而言，重构问题要复杂的多。二、对偶框架首先引入对称算子的定义：对任意的，若，则我们称T1和T2为上的对称算子，且将不等式表示为。可以看到，框架实际上是定义了一个从到的映射，即将任意的映射称为一个平方可和的序列。我们用表示之，并称T为框架算子。对于任意一个平方可和序列,也可映射为一个函数..，我们称为的伴随算子。显然，是一个从到的算子。因为对任意的，我们有(3.9)由上式可得从而根据对称算子的定义，我们可以将定义框架的不等式改写为I为单位算子。(3.10)

4、上式说明，对称算子是有界的，故可定义其逆算子，且逆算子满足(3.11)由逆算子及不等式(3.11),我们就可以定义对偶框架：定义，则构成另一个框架，我们称其为的对偶框架。由(3.11)式可见，确实构成一个框架，且其框架界为和。对于对偶框架，我们也可以相应地定义框架算子和它的伴随算子。框架算子定义为(3.12)而且，可以证明：，(3.13)其中，是到T的值域的正交投影算子。为什么我们要引入对偶框架呢？由(3.13)式可得，从而（3.14）上式告诉我们，如构成一个堆积，那么任一..都可由它的内积系数充分描述。因为可以按(3.14

5、)式由这些内积系数去重构。由，可得(3.15)(3.14)和(3.15)式还说明对偶关系是相互的.即{,也是{，的对偶框架.三.重构由(3.14)我们看到,由内积系数{重构的关键是找到，为此，我们定义（3.16）是一个从到的算子。具体说来，由上式可得（3.17）由（3.10）可得（3.18）由的定义（3.19）我们先来讨论一种比较简单的情况，既紧框架的情况。这时（3.20）如为的紧框架，那么重构公式从形式上看完全类似于正交展开，即（3.21）对一般情况，可将写为，从而将写成如下级数形式..（3.22）因为或（3.23）（3.

6、22）式所示的级数总是收敛的，且越接近1，收敛越快，此时从而（3.24）§2.小波框架现在我们知道,如将连续（或积分）小波变换中的核函数离散化为,要从连续小波变换的离散取值重构的充分必要条件是构成一个框架，即满足（3.6）式。关于小波框架，我们关心两个问题：1）对给定的小波函数，找出一个参数,的值域R,当时，构成一个框架；2）对，计算框架界A，B的估值。首先，我们介绍下述定理。定理：如对于构成具有框架界A,B的一个框架，那么（3.25）与..（3.26）这是通过指数伸缩与整数平移构成框架的必要条件。由上述定理不难看到，必须是

7、一个允许小波。Daubechies很详尽地研究了产生小波框架时，、、必须满足的条件，并估计了相应的框架界。有兴趣的读者可参阅有关文献。例如墨西哥帽函数，它是高斯函数的二阶导数(3.27)前面的系数是为了使。墨西哥帽是视觉分析上常用的小波。当，(3.22)式中k的上限为1时,对各种不同的值，其框架界常数如表3.1所示。§3.半正交小波我们比较感兴趣的是，在构成框架界的前提下，如何去计算其对偶框架。为此，我们引入伸缩算子和平移算子如下：(3.28)显然，。从而的对偶为(3.29)..容易验证，对于所有(3.30)故与是可交换的，

8、从而（3.31）如果与也是可交换的,那么即我们可以象生成一样，由通过伸缩和平移得到,即=。但非常不幸的是,与一般说来是不可交换的。故对偶框架的计算还是比较繁杂的.当然对于正交归一基,由(3.11)式可见,=I,从而=，即正交归一基是自对偶的。本节我们要讨论半正交小波的对偶的计算问题。半正交