(第9讲)指数函数、对数函数问题

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1、题目高中数学复习专题讲座指数函数、对数函数问题9讲典型题例示范讲解例1已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图像交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图像交于C、D两点(1)证明点C、D和原点O在同一条直线上；(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标命题意图本题主要考查对数函数图像、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力知识依托(1)证明三点共线的方法kOC=kOD(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A点坐标错解分析不易考虑运用方程思想去解决实际问题技巧与方法本题第一问运用斜率相等

2、去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A的坐标(1)证明设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2因为A、B在过点O的直线上，所以,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1==3log8x2,所以OC的斜率k1=,OD的斜率k2=，由此可知k1=k2,即O、C、D在同一条直线上(2)解由BC平行于x轴知log2x1=log8x2即log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0

3、,∴x13=3x1又x1>1,∴x1=,则点A的坐标为(，log8)例2在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数n点Pn位于函数y=2000()x(0

4、对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力知识依托指数函数、对数函数及数列、最值等知识错解分析考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口技巧与方法本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题成都市第九中学第5页　共5页　解(1)由题意知an=n+,∴bn=2000()(2)∵函数y=2000()x(0bn+1>bn+2则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn,即()2+(

5、)－1>0,解得a<－5(1+)或a>5(－1)∴5(－1);(3)

6、若F(x)的反函数F－1(x),证明方程F－1(x)=0有惟一解解(1)由>0,且2－x≠0得F(x)的定义域为(－1，1)，设－1＜x1＜x2＜1,则F(x2)－F(x1)=()+(),∵x2－x1>0,2－x1>0,2－x2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1因此F(x2)－F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(－1，1）上是增函数(2)证明由y=f(x)=得2y=,∴f－1(x)=,∵f(x)的值域为R，∴f-－1(x)的定义域为R当n≥3时，成都市第九中学第5页　共5页　f-1(n)>用数学归纳法易证2n>2n+1(n≥3),证略(3)证明∵F(0)=,

7、∴F－1()=0,∴x=是F－1(x)=0的一个根假设F－1(x)=0还有一个解x0(x0≠),则F-1(x0)=0,于是F(0)=x0(x0≠)这是不可能的，故F-1(x)=0有惟一解学生巩固练习1定义在(－∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1),其中x∈(－∞,+∞),那么()Ag(x)=x,h(x)=lg(10x+10－x+2)Bg(x)=［lg(10x+1)+x］,h(x)=［lg(10x+1)－x］Cg