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1、§6排队系统的优化一、排队系统的优化问题有两类最优设计=静态问题:系统设计的最优化;(运行前)最优控制=动态问题:系统控制的最优化;(运行中)只讨论静态问题;一般,顾客满意,服务成本高;服务简单,顾客等待多.最优化的目标之一是兼顾两者,使之合理.方法：数学中的极值原理,或经济中的边际法.二、M/M/1模型中最优服务率1.M/M/1/¥模型优化设为单位时间服务成本,为在系统中逗留费用,则目标函数取为将代入,得,令,得服务率应订在().2.M/M/1/K模型优化顾客被拒概率为,接受概率,有效进入概率,即有效到达率.设每服务一个顾客服务机构获G元,则单位时间收入期望值为利
2、润(注)令,得由此确定出,进而确定出使服务系统最优的.一般用数值计算方法求解,或图解法.设为已知.由具体的,找出对应的.实际做法是:令,则上述方程化为clear;clf%%%%%k=1;ezplot('(y^2-1)^2/(y^2-2*y+1)-x',[0,16])axis([01603])holdon;pause;%%%%%k=2ezplot('(y^3-1)^2/(2*y^3-3*y^2+1)-x',[0,16])axis([01603])%%%k=3ezplot('(y^4-1)^2/(3*y^4-4*y^3+1)-x',[0,16])axis([01603]
3、)例1对某服务台进行实测,得到如下数据:系统中的顾客数(n):0123记录到的次数(mn):161975334平均服务时间为10min,服务一个顾客的收益2元,服务机构运行单位时间成本为1元,问服务率为多少时可使单位时间平均收益最大?解这是M/M/1/3模型,G=2,,下面从现在运行的数据中,估计出顾客的.因为,所以由(人/h),得(人/h).下面进行优化分析:作当时,与的关系图,ezplot('(y^4-1)^2/(3*y^4-4*y^3+1)-x',[0,16])axis([01603])由,由图得(人/h)但然也可作与的关系图,同样可由值去求出,及.收益分析:
4、当(人/h)时,总收益为(元/h)当(人/h)时,总收益为(元/h)单位时间内平均增加收益1.858-0.485=1.373(元/h).相当不错.例2考虑一个M/M/1/K系统,具有(人/h),(人/h),K=2管理者想改进服务,方案有二个:方案A是增加一个等待空间,即使K=3;方案B是提高平均服务率到(人/h).设每服务一个顾客的平均收入不变,问哪个方案将获得更大的收入或利润?当增加到30人/h时,又将得到什么结果?解:对A:,,K=3,有对B:,,K=2,有(人/h)由利润公式采用A,将获得更多利润.当à30,而仍,,则,代入得(人/h),对于,而,,则得(人/
5、h)所以此时,若考虑增加收益,则应采用B方案.三、M/M/s模型中最优的服务台数c仅讨论M/M/s/¥模型且为稳态,设全部费用.(###)其中:是每个服务台的单位时间的成本;是顾客在系统中逗留单位时间的费用,是服务台数;是平均队长.由于和是给定的,所以是服务台数的函数,可记为.因为是整数,所以不易求,改用边际法.(增减1分析法)由,则用(###)代入,得从第一式得从第二式得,故合为:依次试取使上式成立的.例3某检验中心为各工厂服务,要求作检验的工厂(顾客)的到来为~泊松流,平均到达率为48次/天,每次检验时,因停工要损失6元.服务时间~负指数分布,平均服务率为25次
6、/天,设置一个检验员成本每天4元,其他条件同M/M/s.问,应设多少检验员,使总费用平均值最少?解已知,,令检验员数,将分别代入和得如下表格检验员数s平均顾客数L(s)L(s)-L(s+1)~L(s-1)-L(s)总费用(元/d)12345¥24.492.6452.0631.95221.845~¥0.582~21.8450.111~0.582¥154.9427.87*28.3831.71由于,故.即当时,总费用z最小,最小值为(元).§7排队系统的随机模拟分析法当到达、服务分布未知,或难于解析表达时,可用随机模拟方法.例设一卸货场,货车夜间到达,白天卸货,每天只卸3
7、车,余车次曰再卸.求每天推迟卸货的平均车数(车/天).根据长年统计,得出.到达车数012345概率0.050.30.30.10.050.20解由夜到白卸的特点,这不是泊松流,服务时间也不服负指数分布(实际是定长服务时间).由上表可得平均到达的车辆2.4辆/天,a=[0123456];p=[0.050.30.30.10.050.20];a*p’=2.4理想中应能正常卸货,推迟卸货的车辆数为0?随机模拟法的思想:计算每天到达的车辆,可卸货的车辆,推迟卸货的车辆.最后计算一个平均推迟的车辆数.即具体步骤为(1)根据概率的经验表,做100张卡表示概率卡号:0~99,卡号
