高数第一章习题解答.doc

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1、习题解答习题1.11．求下列函数的定义域：(1)；解　要使函数有定义，必须，解之得，故函数的定义域为．(2)；解　要使函数有定义，必须，解之得且，故函数的定义域为．(3)；解　要使函数有定义，必须，解之得或，故函数的定义域为．(4)；解　要使函数有定义，必须，解之得，故函数的定义域为．(5)；解　要使函数有定义，必须，即，解之得，故函数的定义域为整数集．(6)．解　要使函数有定义，必须或，故函数的定义域为．2．判断下列各组中的两个函数是否相同，并说明理由：(1)，；解　这两个函数不同．因为它们的定义域不同，前者的定义

2、域为，而后者的定义域为．(2)，；解　这两个函数不同．因为它们的定义域不同，前者的定义域为，而后者的定义域为．(3)，；解　这两个函数相同．因为，所以它们的定义域与对应法则均相同．(4)，；解　这两个函数不同．因为，所以它们的对应法则不同．(5)，．解　这两个函数相同．因为它们的定义域与对应法则均相同．3．下列函数哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？(1)；解　因为，所以所给函数是偶函数．(2)；解　因为，所以所给函数是奇函数．(3)；解　因为，且，所以所给函数是非奇非偶函数．(4)；解　因为，所以所给函

3、数是奇函数．(5)；解　因为，所以所给函数是偶函数．(6)；解　因为，所以所给函数是偶函数．(7)；解　因为，且，所以所给函数是非奇非偶函数．(8)．解　因为，所以所给函数是奇函数．4．已知是定义在上的奇函数，当时，，求的表达式．解　当时，，故．又由奇函数定义得，于是，．5．已知是定义在上的偶函数，当时，，求的表达式．解　当时，，故．于是，．6．设是定义在上的周期为的周期函数，已知在上，，求在闭区间上的表达式．解　当时，，故．又，于是，．7．设是定义在上的周期为的周期函数，且是偶函数，已知在上，，求在闭区间上的表达式

4、．解　当时，，故．8．求下列函数的反函数：(1)；解　由得，．故所给函数的反函数为．(2)；解　由得，．故所给函数的反函数为．(3)；解　由得，．故所给函数的反函数为．(4)．解　由得，．故所给函数的反函数为．9．设，求．解　因为，故．于是，．10．设，求．解　令，则，故．于是，．11．设，求，及．解　；；．12．设，求，及．解　令，则，故．于是，；；．13．设，，求及．解　；．14．设，，求及．解　，．15．设，，求．解　因为，所以16．已知的定义域为，求下列复合函数的定义域：(1)；　　(2)；　　(3)．解　(

5、1)函数的定义域为．(2)函数的定义域为．(3)函数的定义域为．17．指出下列复合函数是由哪些简单函数复合而成的：(1)；解　函数由，复合而成．(2)；解　函数由，复合而成．(3)；解　函数由，，复合而成．(4)；解　函数由，，，复合而成．(5)；解　函数由，复合而成．(6)．解　函数由，，，复合而成．习题1.21．观察下列数列的变化趋势，指出是收敛还是发散．如果收敛，写出其极限：(1)；　　　　　　　　　　　(2)；(3)；　　　　　　　　　　(4)；(5)；　　　　　　　　　　　　(6)．解　(1)收敛于；(2)

6、收敛于；(3)收敛于；(4)发散；(5)发散；(6)收敛于．2．根据数列极限的定义证明：(1)；证　对于任意给定的正数，要使，只要，即．于是，取正整数，则当时，总有．据数列极限的定义，得．(2)．证　对于任意给定的正数，由于，故要使，只要，即．于是，取正整数，则当时，总有．据数列极限的定义，得．3．证明：当且仅当．证　据数列极限的定义，对于任意给定的正数，存在正整数，当时，有；对于任意给定的正数，存在正整数，当时，有．由于，故当且仅当．4．证明：若，则．证　由于，　，所以因为，所以据数列极限的定义，对于任意给定的正数

7、，存在正整数，当时，有，从而．再据数列极限的定义，有．5．对于数列，若，且，证明：．证　对于任意给定的正数，由知，存在正整数，当时，有；由知，存在正整数，当时，有；取，由当时，有．因此，．习题1.31．设，求及，并说明是否存在．解，．因为，所以存在，且．2．设，证明不存在．证，　．因为，所以不存在．3．设，求：(1)；　　(2)；　　(3)．解(1)因为，，故．(2)．(3)．4．设，求：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．解(1)．(2)因为，，故．(3)因为，，故不存在．(4)．(5)．5．根据函数极限的定义

8、证明：(1)；证对于任意给定的正数，由于，故要使，只要，即．于是，取正数，则当时，就有．据函数极限的定义，得．(2)．证对于任意给定的正数，由于，故要使，只要．于是，取正数，则当时，就有．据函数极限的定义，得．6．证明：的充分必要条件是．证(1)必要性　若，则对于任意给定的正数，存在正数，当时，有，即当或时，均有，故，且．(2)充分性　若，则对