量子力学第3章.doc

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1、第三章：一维定态问题P86设粒子处在二维无限深势阱中，求粒子的能量本征值和本征波函数。如，能级的简并度如何？解：能量的本征值和本征函数为，若，则，这时，若，则能级不简并;若，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如与）设粒子限制在矩形匣子中运动，即求粒子的能量本征值和本征波函数。如，讨论能级的简并度。解：能量本征值和本征波函数为,当时，时，能级不简并；三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。如为12重简并设粒子处在一维无限深方势阱中，处于基态，求粒子的动量分布。解：基态波函数为,动量的几率分布P1151.利用Her

2、mite多项式的递推关系（附录A3。式（11）），证明谐振子波函数满足下列关系并由此证明，在态下，证：谐振子波函数（1）其中，归一化常数（2）的递推关系为（3）2.利用Hermite多项式的求导公式。证明（参A3.式（12））证：A3.式（12）：3.谐振子处于态下，计算，，解：由题1，由题2，对于基态，，刚好是测不准关系所规定的下限。4.荷电q的谐振子，受到外电场的作用，（1）求能量本征值和本征函数。解：（2）的本征函数为，本征值现将的本征值记为，本症函数记为。式（1）的势能项可以写成其中（3）如作坐标平移，令（4）由于（5）可表成（6）（6）式中的与（2）式中的相比

3、较，易见和的差别在于变量由换成，并添加了常数项，由此可知（7）（8）即（9）(10)其中(11)3.1——1.23.2对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明并证明当时上述结果与经典结论一致。解：写出归一化波函数：（1）先计算坐标平均值：利用公式：（2）得（3）计算均方根值用以知，可计算利用公式（5）（6）在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度。，，故当时二者相一致。3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，证明处于定态的粒子讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。证：设粒子处于第n个本征态，

4、其本征函数.（1）（2）在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故，（3），（4）当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。3.3设粒子处于无限深势阱中，状态用波函数描述，是归一化常数，求（1）粒子取不同能量几率分布。（2）能量平均值及涨落。(解)在物理意义上，这是一种能量的非本征态，就是说体系在这种态上时，它的能量是不确定的，薛定谔方程是能量的本征方程，波函数不会满足薛氏方程式。但我们知道势阱中的粒子满足边界条件的解是：（n=1,2,3,……）这种解是

5、能量本征态，相应的能量按叠加原理非本征态可用本征函数谱展开：（1）（1）（2）利用积分公式：于（2）式，可求得：（3）此式只有为奇数时才不为0，故只有量子数奇数的态（4）仍是归一化的，故粒子具有能级的几率是（5）（2）能量的平均值可以按照已知几率分布的公式计算：（n为奇数）（6）根据福利衰级数可计算(n奇)有几种方法，例如：()上式中令x=0立刻得(7)代(6)式得另一方法是直接依据题给的能量非本征态用积分法求平均值:能够这样的原因是厄米算符.(3)能量的涨落指能量的不准度现需求能量平方的平均值,这可利用前半题结果来计算.但关于此求和式也用福利衰级数（展开区间）此式中可

6、取代入得,（补白）：本题若直接用积分求要利用厄米性：why？3.4没有答案3.5一维无限深势阱中求处于态的粒子的动量分布几率密度。（解）因为是已知的，所以要求动量分布的几率密度，先要求动量波函数，这可利用福利衰变换的一维公式:利用不定积分公式用于前一式得：(n奇数)或者，(n偶数)动量几率密度分别是，（n奇数），(n偶数)3.5设粒子处在一维无限深方势阱中，处于基态，求粒子的动量分布。解：基态波函数为,（参P57，（12））动量的几率分布3.6求不对称势阱中粒子的能量本征值。解：仅讨论分立能级的情况，即，当时，，故有由在、处的连续条件，得（1）由（1a）可得（2）由于皆

7、为正值，故由（1b），知为二，四象限的角。因而（3）又由（1），余切函数的周期为，故由(2)式，(4)由(3)，得(5)结合(4),(5)，得或（6）一般而言，给定一个值，有一个解，相当于有一个能级：（7）当时，仅当才有束缚态，故给定时，仅当（8）时才有束缚态（若，则无论和的值如何，至少总有一个能级）当给定时，由(7)式可求出个能级（若有个能级的话）。相应的波函数为:其中3.6试求在不对称势阱中粒子的能级。[解]（甲法）：根据波函数标准条件，设定各区间的波函数如下：(x<0区)：（1）（0a区）：（3）但写出在连