含有加减运算未定式中的等价代换.doc

《含有加减运算未定式中的等价代换.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、含有加减运算未定式中的等价代换杨玉华　　一、预备知识　　我们以为例，对其它的极限过程仍成立。　　1）无穷小：若，则称当时为无穷小。　　2）等价无穷小：若，且，则称当时与为等价无穷小，记为～。　　3）无穷小等价代换定理：当时，，，均为无穷小，且～，～。如果存在，则存在且有　　　　使用无穷小等价代换定理，可使极限运算简化，例如：　　例1：求解：当时，～～由无穷小等价代换定理可知　　此极限亦可借助于罗比塔法则求解，但麻烦多了。再如　　例2：解：当时，～～　　　　　　上述求极限过程使用等价的因子之间是乘积或相除的关系，等价代换可以任意使用，不会出现什么问题。但若这些因子间是

2、相加或相减的关系，使用等价代换就会出现问题。例如，求。　　此题正确解法是使用罗比塔法则，如下：　　　　　　若直接使用无穷小等价代换，就会出现如下情况：　　　　　　为什么会出现这种情况呢？因为当时与不等价，所以不能利用等价代换定理。对含有加减运算的不定式，何时可以用无穷小等价代换定理呢？下面的讨论就回答了这个问题。　　二、形如的不定式　　以下我们用到的均为时的无穷小量。以型为例给出使用条件。　　结论1：当时，～，～，～且存在，，则也存在且＝。　　证明：由知～～由无穷小等价代换定理可知，结论1成立。　　注意，结论1中的条件是不能少的，否则结论不成立。　　有了结论1，再求

3、含有加减运算未定式的极限就简便多了。　　例3：求　　解：∵　　　　∴　　例4：求　　解：∵　　　　∴　　例5：求极限　　解：∵　　　　∴　　若，则结论1不能直接用，需要选取适当的和。　　结论2：设，在x0的某个领域内具有n+1阶连续导数，且不恒为零。，分别为，的n次泰勒多项式，且±≠0。当时，～，～，则（1）当时，～；（2）若存在，则存在，且＝。　　证明：（1）由泰勒公式有　　　　　　　　　　从而有　　　　　　　　　　即时，～，～。又～，所以～。　　（2）　　　　＝＝　　其中所以结论成立。　　此结论的使用，需要掌握泰勒公式，和罗比塔法则相比，优点不是很突出。所以当我

4、们遇到时，～的未定式，首先考虑用罗比塔法，而结论2只是给大家介绍一种方法。　　例6：求　　解：　　　　　　　∴＝