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1、判断函数组线性无关的一个充要条件数学系彭芬国,,在常微分方程的高阶方程求解过程中为判断一解能否为其通解常需讨论一组解。函数的线性相关性函数组的线性相关性是这样定义的,,…。是定义在区间〔,如上,定义设函数如果存在不全为零的几,久,,,常数…几使得〔〔乃〕有。浇久…几,,在区间〔,,,则称…〕上线性相关否则就称它们在〔〕上线性。无关一,,般的常微分方程教材中都给出了一个函数组是某个微分方程的解时此函数组。,,一二。,的线性相关性可由它们的
2、伏朗斯基行列式是否为零而定若是〔一,的上可微分次的一组函数它们的伏朗斯基行列式是指,产,…留”一‘”一‘…”一‘,,,即使是高阶对于一般的函数组伏朗斯基行列式法有时不能适用而且微分方程的一组解函数,,在计算其伏朗斯基行列式时要进行多次的求导运算和计算高阶行列式的,、、、,值当函数组中的各函数出现三角函数指数函数对数函数分式函数等的时候求。,高阶导数是很复杂的下面给出一个能对任意函数组可用的判断线性相关性的充要条,此,件方法不用求导只要求函数组在
3、某些点上的值和计算这些值组成的一个数值行列。,,,…。一函数组,,,一式为下面的书写方便采用记号若是认,是一些常数记,一一,,…。…,于是我们可有这样的结论,,,,定义在〔的上的几个函数…其线性相关的充要条件是对任,,,。,,,二,…,,,,意的…〔〔乙〕有一其线性无关的充,,,…,,,,,,要条件是
4、存在〔〔〕…使…年。下面分两步来证明上面的结论若,,。,,…是定义在区间〔〕上的一组函数则如果它们在一一,,“,‘,‘〔,飞共蜂性柑关那么币,卯“一“恒有,,…,,,。。,,,事实上若…在〔的上线性相关那么由定义即知存在不,,,,全为零的常数…丸使〔〔的有,沐几…几‘口,,,,…,,从而犷灯〔幻有、,,,几几…几一
5、么。。沐几…几。几几…几,,,。,由于几再…几不全为零由线性方程组理论有…!…xn(c:)二△x一cnx:cnxnCn()()…()。)c:,c:,c。“产,‘,‘=,c,,c:,en=o而Dr(…)△(△表示△的转置)△△所以D(…),:由(I)的结果我们可得尹a,nc:,c:,c。(I)如果存在〔b〕中的个数…使得D(c,,c:,cn)…奔0,:,,a,。xtx:txn(,那么()()…)在〔b〕上线性无关a,:,x:t,x
6、。t,a,(I)如果定义在〔b〕上的函数组x(t)()…()线性无关那么必有〔nc;,c:,cn,c:,c:,cn=.b〕中的个数…使得D(…)0。:对采用归纳法来证,e=,、,,;;ix:tae:a(i)时()若在〔b〕上线性无关则由定义即知J〔〔西〕使x(c)寺,c:)二二:c:,。o此时D(()结论真摊一,,:(ii)设l时结论真则时x:(t),劣:,x。a,,,,x。一,a,ttx:(t)x:t()一()在〔b)上线性无关则(t)…()在〔bj,,a,,,,一1,上必也线性无关由归纳假设三cj任〔幻12…n使x:c:x:(e:)xz(cn一:}())x:(el)x:
7、(c:)x:c。一l()了n一:)c:,e:,c。一,D(…钾0xn一;:一:c:x。一:。一:e:xc()()…()吉首大学学报(自然科学版)一九八三年第一期:x考虑一clx一c:x,一xl()()低口(t)-x:c:)xZc乏)才:(c。xZ(t)((一)Dr。)cl,eZ,c。,t=(…一)x。_;c;x。一xc:xn一lcn一:x。一:()()…()(t)xnclxncZx。C。一lxnt()()…()()n(C;,Z,。一,,t:将刀C…C)按最后一列展开Dn(C;,CZ,…Cn一1,t)=拌一x:(r)
