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《实变函数测精彩试题与问题详解.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、实变函数测试题一，填空题1.设,,则.2.,因为存在两个集合之间的一一映射为.3.设是中函数的图形上的点所组成的集合，则，.4.若集合满足,则为集.5.若是直线上开集的一个构成区间,则满足:,.6.设使闭区间中的全体无理数集,则.7.若,则说在上.8.设,,若,则称是的聚点.9.设是上几乎处处有限的可测函数列,是上几乎处处有限的可测函数,若,有,则称在上依测度收敛于.1.设,,则的子列,使得.二,判断题.正确的证明,错误的举反例.1.若可测,且,则.2.设为点集,,则是的外点.3.点集的闭集.4.任意多个闭集的并集是闭集.5.若,满足,则为无限集合.三
2、,计算证明题1.证明:2.设是空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,有理数为半径的球的全体,证明为可数集.3.设,且为可测集,.根据题意,若有,证明是可测集.4.设是集,.求.5.设函数在集中点上取值为,而在的余集中长为的构成区间上取值为,,求.4.求极限:.实变函数试题解答一填空题1..2.3.;.4.闭集.5.6..7.几乎处处收敛于或收敛于.8.对有.9.10.于.二判断题1..例如,,,则且,但.2..例如,,但0不是的外点.1..由于.2..例如,在中,,是一系列的闭集,但是不是闭集.3..因为若为有界集合,则存在有限区间,,使得,则于.
3、三,计算证明题.1.证明如下:2.中任何一个元素可以由球心,半径为唯一确定,,,跑遍所有的正有理数,跑遍所有的有理数.因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集,故为可数集.3.令,则且为可测集,于是对于,都有,故,令,得到,故可测.从而可测.2.已知,令,则.3.将积分区间分为两两不相交的集合:,,,其中为集,是的余集中一切长为的构成区间(共有个)之并.由积分的可数可加性,并且注意到题中的,可得2.因为在上连续,存在且与的值相等.易知由于在上非负可测，且广义积分收敛，则在上可积，由于，，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到.
