chp3-3-3-4 内积空间与希尔伯特空间.ppt

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1、第三章内积空间与Hilbert空间元素的长度（范数）内积空间与希尔伯特空间内积空间+完备性希尔伯特空间线性空间+内积内积空间两向量夹角与正交内积空间特点：1.内积与内积空间一、内积空间与希尔伯特空间的概念注：1)当数域K为实数域时，称H为实的内积空间；当数域K为复数域C时，则称H为复的内积空间。2)<x+y,z>=+4)=<y,x>=3)=<y+z,x>=+定义1设H是数域K上的线性空间，定义映射<·,·>:H

2、HK,使得x,y,zH,K,满足内积公理=+=4)0,且=0x=0则称为x与y的内积,而称定义了内积的空间H为内积空间。3)=2.由内积诱导的范数及由内积诱导的距离注:(1)内积与由内积诱导的范数的三角不等式关系:

3、

4、

5、

6、x

7、

8、×

9、

10、y

11、

12、(许瓦兹不等式)(2)内积诱导的范数满足三角不等式：(3)由内积诱导的范数满足范数公理(X,

13、

14、.

15、

16、)是赋范线性空间，但反之不然.定义2(

17、1)范数称为由内积诱导的范数.(2)距离函数称为由内积诱导的距离。线性赋范空间成为内积空间的充分必要条件定理1线性赋范空间X是内积空间x,yX,有

18、

19、x+y

20、

21、2+

22、

23、x-y

24、

25、2=2

26、

27、x

28、

29、2+2

30、

31、y

32、

33、2(平行四边形公式或中线公式)定义3设H是内积空间，若H按照由内积诱导的范数成为Banach空间，则称H是希尔伯特空间(Hilbert).4.希尔伯特空间Rn中由内积导出的距离为因而是Hilbert空间。例1n维欧氏空间Rn按照内积是内积空间。Rn按照由内积导出的范数是Banach空间，l2按照由内积

34、导出的范数是Banach空间，因而是Hilbert空间。l2中由内积导出的距离为例2l2空间按照内积是内积空间。L2[a,b]按照由内积导出的范数是Banach空间，因而是Hilbert空间。L2[a,b]中由内积导出的距离为例3L2[a,b]空间按照内积是内积空间。C[a,b]中范数不满足平行四边形公式，证取x=1,y=(t-a)/(b-a)C[a,b]

35、

36、x

37、

38、=1,

39、

40、y

41、

42、=1

43、

44、x+y

45、

46、=max

47、1+(t-a)/(b-a)

48、=2,

49、

50、x-y

51、

52、=max

53、1-(t-a)/(b-a)

54、=1

55、

56、x

57、+y

58、

59、2+

60、

61、x-y

62、

63、2=54=2(

64、

65、x

66、

67、2+

68、

69、y

70、

71、2)因而不是由内积导出的范数C[a,b]不是内积空间例4C[a,b]按照范数是线性赋范空间，但C[a,b]不是内积空间5.内积空间中的极限证xnx

72、

73、xn-x

74、

75、0yny

76、

77、yn-y

78、

79、0

80、-

81、-

82、+

83、-

84、

85、

86、xn-x

87、

88、

89、

90、yn

91、

92、+

93、

94、x

95、

96、

97、

98、yn-y

99、

100、0(n)定理2设H是希尔伯特空间，则H中的内积是x,

101、y的连续函数,即{xn}、{yn}H,x,yH,若xnx,yny,则注：距离函数、范数、内积都是连续函数（线性运算对内积的连续性）二、内积空间中的正交分解与投影定理在解析几何中，有向量正交和向量投影的概念.两个向量正交的充分必要条件是它们的内积等于0.过向量x的终点作坐标平面的垂线，所得的垂足与原点之间的有向线段x0就是向量x在空间坐标平面上的正交投影向量。即x=x0+x1,其中x1该坐标平面。这时称x=x0+x1为x关于该坐标面的正交分解。x0x1x正交分解和正交投影的概

102、念可推广到一般的内积空间。其中的投影定理是一个理论和应用上都极其重要的定理，利用投影定理可以将内积空间分解成两个子空间的正交和。这是内积空间所特有的性质，这个定理在一般的巴拿赫空间中并不成立（因为巴拿赫空间中没有正交性的概念）。在实际应用中，投影定理还常被用来判定最佳逼近的存在性和唯一性。1.正交的概念定义5(正交)设H是内积空间，x,yH,M,NH.(1)若=0，则称x与y正交，记为xy;(2)若yM,都有=0，则称x与M正交，记为xM；(3)若xM,yN,都有=

103、0，则称M与N正交记为MN.定理4(勾股定理)设H是内积空间，若x,yH,且xy，则

104、

105、x+y

106、

107、2=

108、

109、x

110、

111、2+

112、

113、y

114、

115、2注：1）在一般的内积空间中，

116、

117、x+y

118、

119、2=

120、

121、x

122、

123、2+

124、

125、y

126、

127、2成立，不一定有xy.事实上，

128、

129、x+y

130、

131、2=

132、

133、x

134、

135、2+

136、

137、y

138、

139、2+2Re2）在实内积空间中，xy

140、

141、x+y

142、

143、2=

144、

145、x

146、

147、2+

148、

149、y

150、

151、2定义