三.平稳随机过程.ppt

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1、2021/9/91平稳随机过程与各态历经过程平稳随机过程的概念平稳随机过程的主要特征：过程的统计特性不随时间改变。*平稳随机过程分析方法简单，对于平稳随机过程已建立起了一套完整、有效、成熟的理论分析和实验研究方法。*实际应用中的许多非平稳随机过程大都可以在一定条件下被近似看作平稳过程，或分段看作短时平稳过程。*非平稳随机过程的理论分析相对复杂、相对不成熟。实际问题多为非平稳过程，为何单独要研究平稳过程？(1)定义如果对于任意的n和，随机过程X(t)的n维概率密度满足：则称X(t)为严平稳（或狭义）随机过程。t严平稳随机过程的统计特性与时间起点无关。5.1平稳随机过程5.

2、1.1严平稳(2)一、二维概率密度及数学特征严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关t严平稳随机过程的二维概率密度只与t1,t2的时间间隔有关，而与时间起点无关按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳，需要知道其n维概率密度，可是求n维概率密度是比较困难的。不过，如果有一个反例，就可以判断某随机过程不是严平稳的，具体方法有两个：(1)若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则与时间t无关。(2)若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0，X(t0)具有相同的统计特性。(3)严平稳的判断若随机过程X(t)满足则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。严平稳与宽平稳的关系：严平稳

3、过程的均方值有界，则此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平稳与宽平稳等价。5.1.2宽平稳随机过程平稳性是随机信号的统计特性对参量（组）的移动不变性，即平稳随机信号的测试不受观察时刻的影响；应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号；严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论研究中；经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理条件不随时间而改变，那么通常可以认为此信号是平稳的。非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号来处理。如语音信号，人们普遍实施10－30ms的分帧，再采用平稳信号处理技术解决有关问题例1.设随机过程Z(

4、t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的二元随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取-1和2，试求：Z(t)的均值和自相关函数；证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的。解：因此，Z(t)是宽平稳的。因此，Z(t)不是严平稳的。例2.设随机过程X(t)=t2+Asint+Bcost，其中A和B都是一元随机变量，且E[A]=E[B]=0，D[A]=D[B]=10，E[AB]=0，试分别讨论X(t)和Y(t)=X(t)-mX(t)的平稳性。解：X(t)不是平稳过程。Y(t)是平稳过程。5.1.3循环平稳性5.1.3循环平稳性5.1.3循环平稳性5.1.3循环平

5、稳性5.1.3循环平稳性5.1.3循环平稳性5.1.3循环平稳性5.1.3循环平稳性5.1.3循环平稳性5.1.3循环平稳性5.1.3循环平稳性5.1.3循环平稳性5.1.3循环平稳性5.1.3循环平稳性SSSWSSSSCSWSCS除Guass二阶矩过程二阶矩过程5.1.4平稳随机过程相关函数的性质1)实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数，即，同理可得。证明：2)平稳过程的均方值就是自相关函数在时的值3)平稳过程自相关函数的最大值在处，，同理可得证明：4)周期为T的平稳过程，其自相关函数也是周期为T的函数5)不含任何周期分量的非周期平稳过程满足6)若平稳过程含有平均分

6、量为mX，则自相关函数将含有固定分量mX2，即7)自相关函数必须满足并对所有的ω成立。即自相关函数在整个频率轴上是非负值的。限制了自相关函数图形不能有平顶、垂直边或幅度上的不连续数学期望均方值方差协方差例3：已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为RX(τ)=100e-10

7、τ

8、+100cos10τ+100求X(t)的均值、均方值和方差。RX(τ)=（100cos10τ）+（100e-10

9、τ

10、+100）=RX1(τ)+RX2(τ)式中，RX1(τ)=100cos10τ是X(t)中周期分量的自相关函数，此分量的均值mx1=0;RX2(τ)=100e-10

11、τ

12、+100是X

13、(t)的非周期分量的自相关，由性质4，可得所以有解：严平稳随机过程宽平稳随机过程严平稳随机过程的统计特性与时间起点无关。一维概率密度与时间无关均值、均方值、方差及与时间无关二维概率密度仅与时间间隔有关相关函数仅与时间间隔有关均值与时间无关，相关函数仅与时间间隔有关此值在[－1，1]之间。相关系数表示不相关表示完全相关表示正相关，即两个不同时刻起伏值符号相同可能性大。5.1.5平稳过程的相关系数和相关时间当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认为两个不同时刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。(1)相关系数从最大值1下降至0.05时所经