【成才之路】2020版高中数学 2-3同步练习 新人教B版选修2-2（通用）.doc

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1、选修2-22.3一、选择题1．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时命题不成立，那么可推得(　　)A．当n＝4时该命题不成立B．当n＝6时该命题不成立C．当n＝4时该命题成立D．当n＝6时该命题成立[答案]　A[解析]　由命题及其逆否命题的等价性知选A.2．等式12＋22＋32＋…＋n2＝(5n2－7n＋4)(　　)A．n为任何正整数都成立B．仅当n＝1,2,3时成立C．当n＝4时成立，n＝5时不成立D．仅当n＝4时不成立[答案]　B[解析]　经验证，n＝1,2,3时成立，n＝4,5，…不成立．故选B.3．用

2、数学归纳法证明某命题时，左式为＋cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α(α≠kπ，k∈Z，n∈N*)，在验证n＝1时，左边所得的代数式为(　　)A.B.＋cosαC.＋cosα＋cos3αD.＋cosα＋cos3α＋cos5α[答案]　B[解析]　令n＝1，左式＝＋cosα.故选B.4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝(　　)A.B.C.D.[答案]　B[解析]　由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an∴an＋

3、1＝an　(n≥2)，当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝＝，a3＝a2＝，a4＝a3＝.由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝猜想an＝.故选B.5．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式(　　)A．1＋<2B．1＋＋<2C．1＋＋<3D．1＋＋＋<3[答案]　B[解析]　n＝2时1＋＋<2.故选B.6．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)(n∈N＋)”，则“从k到k＋1”左端需乘的代数式为(　　)A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D.[答案]　B[解析]　n＝k时左式＝(k＋1)(k＋2

4、)(k＋3)n＝k＋1时左式＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)故“从k到k＋1”左端需乘＝2(2k＋1)．故选B.7．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的说法是(　　)A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题成立[答案]　D[解析]　A中n＝k时，k不一定是奇数，不正确；B中n＝k＋1为偶数，不正确；C中2k＋1>k＋1与归纳假设矛盾．故选D.8．用

5、数学归纳法证明n(n＋1)(2n＋1)能被6整除时，由归纳假设推证n＝k＋1时命题成立，需将n＝k＋1时的原式表示成(　　)A．k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)B．6k(k＋1)(2k＋1)C．k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2D．以上都不对[答案]　C[解析]　当n＝k＋1时，原式＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2.故选C.9．已知数列{an}，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋an－1(k∈N*)，用数学归纳法证明a4n能被4整除时，假设a4k能被4整除，应证(　　)A．a4k＋1能被4整除B．a4k＋2能被4整除C．a

6、4k＋3能被4整除D．a4k＋4能被4整除[答案]　D[解析]　在数列{a4n}中，相邻两项下标差为4，所以a4k后一项为a4k＋4.故选D.10．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线的条数f(n＋1)为(　　)A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2[答案]　C[解析]　由凸n边形变为凸n＋1边形后，应加一项，这个顶点与不相邻的(n－2)个顶点连成(n－2)条对角线，同时，原来的凸n边形的那条边也变为对角线，故有f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1.故选C.二、填空题11．使不等式2n＞n2＋1对任意n≥k的自然数都成立的最小k

7、值为________．[答案]　5[解析]　25＝32,52＋1＝26，对n≥5的所有自然数n,2n＞n2＋1都成立，自己用数学归纳法证明之．12．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，待证表达式应为________．[答案]　1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)213．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过