常系数非齐次线性微分方程.ppt

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1、常系数非齐次线性微分方程第八节一、二、第七章二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构常见类型难点：如何求特解？方法：待定系数法.设非齐方程特解为代入原方程一、型综上讨论注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.特别地例1.求方程　　　　　　　　　　的一个特解解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例２例３例.求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得于是所求解为解得利用欧拉公式注意上述结论可推

2、广到n阶常系数非齐次线性微分方程.解对应齐次方程特征方程代入方程得解对应齐次方程通解代入上式所求非齐方程特解为原方程通解为例5例6解对应齐方通解用常数变易法求非齐方程通解原方程通解为例7例8.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:三、小结(待定系数法)只含上式一项解法：作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解.思考题写出微分方程的待定特解的形式.思考题解答设的特解为设的特解为则所求特解为特征根（重根）思考与练习时可设特解为时可设特解为提示:1.(填空)设2.求微分方程的

3、通解(其中为实数).解:特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为3.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解:将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为练习题练习题答案