二次曲线的渐近方向中心渐近线.ppt

《二次曲线的渐近方向中心渐近线.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线1.二次曲线的渐近方向我们在§5.1中看到二次曲线和具有方向的直线（1）（2）的交点参数满足或者直线全部在二次曲线上，成为二次曲线的组成部分.当满足条件（3）时，交点数目会有三种情况或者只有一个实交点，或者没有交点，这说明,直线方向会影响其与曲线的交点.方向(3)具有特殊性.我们将(3)所示的方向定义为二次曲线的渐近方向.我是特殊方向定义5.2.1满足条件的方向叫做二次曲线（1）的渐近方向，否则叫做非渐近方向.（3）因为二次曲线（1）的二次项系数不能全为零，所以渐近方向所满足的（3）总

2、有确定的解.下面考虑(3)存在渐近方向的个数问题.如果，那么把（3）改写成得如果，把（3）改写成（3）如果，那么把（3）改写成得所以这时（3）如果那么一定有这时（3）变为总结以上讨论的各种情况,渐近方向的数目?最多两个!(从比值的角度看)（3）如果，渐近方向满足如果，渐近方向满足如果渐近方向满足这说明渐近方向的数目最多两个!(从比值的角度看)有虚方向吗?区分一下虚实方向.（3）如果，渐近方向满足如果，渐近方向满足如果渐近方向满足从上我们看到，当且仅当时，二次曲线的渐近方向是一对共轭的虚方向；（3）如果，渐近方向满足如果，渐

3、近方向满足如果渐近方向满足从上我们看到，当且仅当时，二次曲线有一个实渐近方向；（3）如果，渐近方向满足如果，渐近方向满足如果渐近方向满足从上我们看到，当且仅当时，二次曲线有两个实渐近方向.因此二次曲线的渐近方向最多有两个.总结:当且仅当时，二次曲线的渐近方向是一对共轭的虚方向；当且仅当时，二次曲线有一个实渐近方向；当且仅当时，二次曲线有两个实渐近方向.显然二次曲线的非渐近方向有无数多.因此,可以利用渐近方向将二次曲线分类定义5.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型的，有两个实渐近

4、方向的二次曲线叫做双曲线型的。因此二次曲线（1）按其渐近方向可以分为三种类型，即1)椭圆型曲线：；2)抛物型曲线：；3)双曲型曲线：.例1求下列二次曲线的渐近方向,并指出曲线属于何种类型.(1)(2)解:(1)渐近方向满足即:解得:有两个实渐近方向.是双曲型曲线.也可以由得到是双曲型曲线.解:(1)渐近方向满足即:解得:有两个虚渐近方向.是椭圆型曲线.也可以由得到是椭圆型曲线.p193.1.现在请大家做课堂练习2.二次曲线的中心与渐近线我们在§5.1中又看到，当直线的方向为二次曲线（1）的非渐近方向时，即当时，直线与二次曲

5、线总交于两个点（两个不同实的，两重合实的或一对共轭虚的）.我们把由这两点决定的线段叫做二次曲线的弦.AB线段AB是弦定义5.2.3如果点是二次曲线的通过它的所有弦的中点（因而是二次曲线的对称中心）,那么点叫做二次曲线的中心。C我们这些弦都被C平分称C为中心根据这个定义，当点为二次曲线（1）的中心时，那么过以任意非渐近方向为方向的直线与二次曲线交于两点点就是弦的中点.C(x0,y0)M1M2那么过以任意非渐近方向为方向的直线与二次曲线交于两点设交点M1与M2对应的参数分别为t1,t2.则有注意(a)所以(a)意味着由前面所得

6、而另一方面,直线与二次曲线的交点对应的参数,可以由下列方程解得从韦达定理得（4）因为为任意非渐近方向，所以（4）式是关于的恒等式，从而有（4）反过来，适合上面两式的点，显然是二次曲线的中心.这样我们就得到了下面的定理：定理5.2.1点是二次曲线的中心，其充要条件是（5）所以，二次曲线的中心坐标由下列方程组决定（5）解:例1求曲线的中心.二次曲线的中心坐标由下列方程组决定解得:二次曲线的中心坐标由下列方程组决定（5）推论坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含与的一次项。由上面的方程容易得到推论例如(0,0)为中

7、心.练习：p193.3.作业：P194.4.定义5.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲线型的。因此二次曲线（1）按其渐近方向可以分为三种类型，即1)椭圆型曲线：；2)抛物型曲线：；3)双曲型曲线：.复习二次曲线的中心坐标由下列方程组决定（5）下面将利用中心把二次曲面分类.下面将利用中心把二次曲面分类.先考虑中心最多有多少?由于二次曲线的中心坐标由下列方程组决定（5）如果系数行列式那么(5)有唯一的解.此时,二次曲线有唯一的中心.如果系数行列

8、式即，二次曲线没有中心；而当时，那么当如果系数行列式即，时，（5）（5）无解，（5）有无数多解,换句话说,直线（或）上的所有点都是二次曲线的中心，这时这条直线叫做中心直线.定义5.2.4有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线，没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线，无