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时间:2020-06-19
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1、恒成立问题常见类型及解法“恒成立”问题是数学中常见的问题,涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的性质、图象,渗透着换主元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中解法通常有:①变量分离法;②构造函数法;③更换主元法;④数形结合法.一、变量分离法:例1:当x∈[1,2]时,ax-2>0恒成立,求a的取值范围.变量分离法:将不等式中的两个变量分别置于不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.例2:当时,不等式恒成立,求的取值范围.
2、解:当时,由得.令则易知在上是减函数,,∴.所以二、构造函数法:nmoxynmoxynoxym例1:当x∈[1,2]时,ax-2>0恒成立,求a的取值范围.例2:当时,不等式恒成立,求的取值范围.解:原不等式可转化为对例3:不等式对恒成立,求的范围。ⅱ)当时由图可得以下充要条件:得综合可得的取值范围为.ⅰ)当时,即时,对一切恒成立;恒成立1oyx原不等式等价于则另解:变式:不等式对恒成立,求的范围.令t=x-1>0,则p>-[t+4+4/t]∈(-∞,-8]例4:设,如果恒成立,求的范围.设解:原不等式等价于可求得三.变换主元法:数形结合法4.数
3、形结合法4.数形结合思想在高考中占有非常重要的地位,其“数”与“形”结合,相互渗透,把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合,使代数问题、几何问题相互转化,使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想,要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.4.数形结合法要使对一切,恒成立,例6:当时,不等式恒成立,求的范围.解:设则的图象为下图所示的抛物线,xyo121y1=(x-1)2显然,并且必须也只需当时,的函数值大于的函数值即可。y2=logaxxyo121y1=(x-1)2y2=logax归纳变量分离构造函数变换主元实质通过构造
4、函数,化归到函数的性质(最值)或图像解决数形结合1.已知函数的定义域为R,求实数m的取值范围.2.若对一切实数x,不等式均成立,求实数m的取值范围.yx
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