高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学案 新人教A版选修.doc

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1、3．2.2　复数代数形式的乘除运算预习课本P58～60，思考并完成下列问题(1)复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？　　(2)复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数的性质解决问题？　　　　　　1．复数代数形式的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z33.共轭复

2、数已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则(1)z1，z2互为共轭复数的充要条件是a＝c且b＝－d.(2)z1，z2互为共轭虚数的充要条件是a＝c且b＝－d≠0.4．复数代数形式的除法法则：(a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i(c＋di≠0)．[点睛]　在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．(　　)(2)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(　　)(3)

3、两个共轭虚数的差为纯虚数．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√2．(北京高考)复数i(2－i)＝(　　)A．1＋2i　　　　　　　　　B．1－2iC．－1＋2iD．－1－2i答案：A3．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝(　　)A．4＋2iB．2＋iC．2＋2iD．3＋4i答案：A4．复数＝________.答案：－i复数代数形式的乘法运算[典例]　(1)已知i是虚数单位，若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数a等于(　　)A．2　　　　　　　　　B.C．－D．－2(2)(江苏高考)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是____

4、____．[解析]　(1)(1＋ai)(2＋i)＝2－a＋(1＋2a)i，要使复数为纯虚数，所以有2－a＝0,1＋2a≠0，解得a＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的实部是5.[答案]　(1)A　(2)51．两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开．(2)再将i2换成－1.(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．(3)(1±i)2＝±2i.　[活学活用]1．已知x，y∈R，i为虚

5、数单位，且xi－y＝－1＋i，则(1＋i)x＋y的值为(　　)A．2B．－2iC．－4D．2i解析：选D　由xi－y＝－1＋i得x＝1，y＝1，所以(1＋i)x＋y＝(1＋i)2＝2i.2．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.解析：因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，所以a－1＝0，a＋1＝b，即a＝1，b＝2，所以a＋bi＝1＋2i.答案：1＋2i复数代数形式的除法运算[典例]　(1)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为(　　)A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i(

6、2)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为(　　)A．2B．－2C．－D.[解析]　(1)∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝＝＝＝3＋5i.(2)＝＝＋i，由是纯虚数，则＝0，≠0，所以a＝2.[答案]　(1)A　(2)A1．两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．2．常用公式(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.　　　　　　[活学活用]1．(天津高考)i是虚数单位，计算的结果为________．解析：＝＝＝－i.答案：－i2．计算：＝________

7、.解析：法一：＝＝＝－2＋i.法二：＝＝＝＝＝－2＋i.答案：－2＋ii的乘方的周期性及应用[典例]　(1)(湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数为(　　)A．iB．－iC．1D．－1(2)计算i1＋i2＋i3＋…＋i2016＝________.[解析]　(1)因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.(2)法一：原式＝＝＝＝0.法二：∵i1＋i2＋i3＋i4＝0，∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)，∴i1＋i2＋i3＋…＋i2016，＝(