高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(十六)　导数与函数的综合问题.pdf

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1、课时跟踪检测(十六)　导数与函数的综合问题(分A、B卷，共2页)A卷：夯基保分1．一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？2．(2015·山西四校联考)已知f(x)＝lnx－x＋a＋1.(1)若存在x∈(0，＋∞)使得f(x)≥0成立，求a的取值范围；11(2)求证：当x＞1时，在(1)的条件下，x2＋ax－a＞xlnx＋成立．223．

2、(2014·四川高考)已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点．证明：e－2

3、x2)成立，求ex实数t的取值范围．2．(2015·皖南八校联考)已知函数f(x)＝xlnx＋mx(m∈R)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为2.(1)求实数m的值；fx－x(2)设g(x)＝，讨论g(x)的单调性；x－1mnn(3)已知m，n∈N*且m>n>1，证明>.nmm答案A卷：夯基保分1．解：设火车的速度为xkm/h，甲、乙两城距离为akm.1由题意，令40＝k·203，∴k＝，200a则总费用f(x)＝(kx3＋400)·x4001400＝akx2＋＝ax2＋(0＜x≤100)．(x)(

4、200x)ax3－400003由f′(x)＝＝0，得x＝205.100x23当0＜x＜205时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；3当205＜x≤100时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．33∴当x＝205时，f(x)取极小值也是最小值，即速度为205km/h时，总费用最少．2．解：(1)原题即为存在x>0使得lnx－x＋a＋1≥0，∴a≥－lnx＋x－1，令g(x)＝－lnx＋x－1，1x－1则g′(x)＝－＋1＝.xx令g′(x)＝0，解得x＝1.∵当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，当

5、x＞1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，∴g(x)min＝g(1)＝0，a≥g(1)＝0.故a的取值范围是[0，＋∞)．(2)证明：原不等式可化为11x2＋ax－xlnx－a－＞0(x＞1，a≥0)．2211令G(x)＝x2＋ax－xlnx－a－，则G(1)＝0.22由(1)可知x－lnx－1＞0，则G′(x)＝x＋a－lnx－1≥x－lnx－1＞0，∴G(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴G(x)>G(1)＝0成立，1111∴x2＋ax－xlnx－a－＞0成立，即x2＋ax－a>x1nx＋成立．22223．

6、解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，有g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.所以g′(x)＝ex－2a.因此，当x∈[0,1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．1当a≤时，g′(x)≥0，2所以g(x)在[0,1]上单调递增，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；e当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0,1]上单调递减，2因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；1e当＜a＜时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0,1)．22所以函数g(x)在区间

7、[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.1综上所述，当a≤时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；21e当＜a＜时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；22e当a≥时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.2(2)证明：设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知f(x)在区间(0，x0)

8、上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负，故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2.所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点．1由(1)知，当a≤时，g(x)在[0,1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点．2e当a≥时，g(x)在[0,1]上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个