二元函数的极限.doc

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1、§2二元函数的极限(一)教学目的：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．(二)教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限．基本要求：(1)掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法．(2)较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．(三)教学建议：(1)要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极限的方法．(2)对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．一二元函数

2、的极限先回忆一下一元函数的极限：的“”定义(c31)：设函数在的某一空心邻域内由定义，如果对，当，即时，都有，则称时，函数的极限是A.类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下：设二元函数为定义在上的二元函数，在点为D的一个聚点，A是一个确定的常数，如果对，使得当时，都有，则称在D上当时，以A为极限。记作也可简写为或例1用定义验证证明:限制在（2，1）的邻域取，则有由二元函数极限定义例2，证明证所以对于二元函数的极限的定义，要注意下面一点：是指：以任何方式趋于，包括沿任何直线，沿任何曲线趋于时，必须趋于同一确定的常数。对于一元

3、函数，仅需沿轴从的左右两个方向趋于，但是对于二元函数，趋于的路线有无穷多条，只要有两条路线，趋于时，函数的值趋于不同的常数，二元函数在点极限就不存在。例1二元函数请看图像（x62），尽管沿任何直线趋于原点时都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限就是零，因为当沿抛物线时，的值趋于１而不趋于零，所以极限不存在。f(x)=0f(x)=1f(x)=1(考虑沿直线的方向极限).例2设函数求证证明因为所以，当时，。请看它的图像，不管沿任何方向趋于原点，的值都趋于零。通常为证明极限不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两个方向的

4、极限不相等,或证明方向极限与方向有关.但应注意,沿任何方向的极限存在且相等全面极限存在.例3设函数证明函数在原点处极限不存在。证明尽管沿ｘ轴和ｙ轴趋于原点时的值都趋于零，但沿直线趋于原点时沿斜率不同的直线趋于原点时极限不一样，请看它的图象,例１沿任何路线趋于原点时，极限都是0，但例２沿不同的路线趋于原点时，函数趋于不同的值，所以其极限不存在。例3判别函数在原点是否存在极限.非正常极限极限的定义:例1设函数证明证只要取时，都有请看它的图象，因此是无穷大量。例2求下列极限:i);ii);iii);iV).二.累次极限:累次极限前

5、面讲了以任何方式趋于时的极限，我们称它为二重极限，对于两个自变量依一定次序趋于时的极限，称为累次极限。对于二元函数在的累次极限由两个和例1,求在点的两个累次极限.例2,求在点的两个累次极限.例3,求在点的两个累次极限.二重极限与累次极限的关系:（１）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序。例函数的两个累次极限是（２）两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在例，两个累次极限都存在但二重极限却不存在，事实上若点沿直线趋于原点时，二重极限存在也不能保证累次极限存在二重极限

6、存在时,两个累次极限可以不存在.例函数由.可见二重极限存在,但和不存在，从而两个累次极限不存在。（4）二重极限极限和累次极限(或另一次序)都存在,则必相等.(证)（5）累次极限与二重极限的关系若累次极限和二重极限都存在，则它们必相等