(7)逆算符（8）算符函数（9）复共轭算符（10）转置算符（11）.ppt

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1、（7）逆算符（8）算符函数（9）复共轭算符（10）转置算符（11）厄密共轭算符（12）厄密算符（1）线性算符（2）算符相等（3）算符之和（4）算符之积（5）对易关系（6）对易括号（二）算符的一般特性回顾：(12)厄密算符1.定义:满足下列关系的算符称为厄密算符.2.性质性质1:两个厄密算符之和仍是厄密算符。即若Ô+=Ô,Û+=Û则(Ô+Û)+=Ô++Û+=(Ô+Û)性质2:两个厄密算符之积一般不是厄密算符,除非二算符对易。因为(ÔÛ)+=Û+Ô+=ÛÔ≠ÔÛ仅当[Ô,Û]=0成立时,(ÔÛ)+=ÔÛ才成立。性质性质3定理任何状态下，厄密算符的平均值都是实数当逆

2、定理任何状态下平均值为实数的算符必为厄密算符推论：实验上可以观测的力学量，其平均值为实数，其相应算符均为厄密算符（一）动量算符（1）动量算符的厄密性（2）动量本征方程（3）箱归一化（二）角动量算符（1）角动量算符的形式（2）角动量本征方程（3）角动量算符的对易关系（4）角动量升降阶算符§2动量算符和角动量算符（一）动量算符（1）动量算符的厄密性使用波函数在无穷远处趋于零的边界条件。（2）动量本征方程其分量形式：证：由证明过程可见，动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关。I.求解这正是自由粒子的deBroglie波的空间部分波函数。如果取

3、c

4、2(2π)3=1

5、则ψp(r)就可归一化为δ-函数。解之得到如下一组解：于是：II.归一化系数的确定采用分离变量法，令：代入动量本征方程且等式两边除以该式，得：xyzAA’oL（3）箱归一化在箱子边界的对应点A,A’上加上其波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件。据上所述，具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归一化为δ-函数。但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。周期性边界条件这表明，px只能取分立值。换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱。所以c=L-3/2，归一化的本征函数为：波

6、函数变为这时归一化系数c可由归一化条件来确定：讨论：（1）箱归一化实际上相当于如图所示情况：(a)A’(b)A(c)yx（2）由px=2nx/L,py=2ny/L,pz=2nz/L,可以看出，相邻两本征值的间隔p=2/L与L成反比。当L选的足够大时，本征值间隔可任意小，当L时，本征值变成为连续谱。（3）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为一，连续谱归一化为函数（4）p(r)×exp[–iEt/]就是自由粒子波函数，在它所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。（二）角动量算符（1）角动量算符的形式根

7、据量子力学基本假定II，量子力学角动量算符为:(I)直角坐标系角动量平方算符经典力学中，若动量为p，相对点O的位置矢量为r的粒子绕O点的角动量是：由于角动量平方算符中含有关于x，y，z偏导数的交叉项,所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量,难于求解,为此我们采用球坐标较为方便.直角坐标与球坐标之间的变换关系xz球坐标ry这表明：r=r(x,y,z)x=x(r,θ,φ)(II)球坐标将（1）式两边分别对xyz求偏导数得：将（2）式两边分别对xyz求偏导数得：对于任意函数f(r,θ,φ)（其中，r,θ,φ都是x,y,z的函数）则有：将（3）式两边分

8、别对xyz求偏导数得：将上面结果代回原式得：则角动量算符在球坐标中的表达式为：（2）本征方程(I)Lz的本征方程求归一化系数正交性：I。波函数有限条件，要求z为实数；II。波函数单值条件，要求当φ转过2π角回到原位时波函数值相等，即：合记之得正交归一化条件：最后得Lz的本征函数和本征值：讨论：厄密性要求第一项为零所以则这正是周期性边界条件(II)L2的本征值问题L2的本征值方程可写为：为使Y(,)在变化的整个区域(0,π)内都是有限的，则必须满足：=（+1),其中=0,1,2,...其中Y(,)是L2属于本征值2的本征函数。此方程就是大家

9、熟悉的球谐函数方程，其求解方法在数学物理方法中已有详细的讲述，得到的结论是：该方程的解就是球函数Ylm(,)，其表达式：归一化系数，由归一化条件确定其正交归一条件为：具体计算请参考有关数学物理方法的书籍，在这里就不作详细介绍了。(III)本征值的简并度由于量子数表征了角动量的大小，所以称为角量子数；m称为磁量子数。可知，对应一个值，m取值为0,±1,±2,±3,...,±共(2+1)个值。因此当确定后，尚有(2+1)个磁量子状态不确定。换言之，对应一个值有(2+1)个量子状态，这种现象称为简并，的简并度是(2+1)度。根据球函数定义式（

10、3）角动量算符的对易关系证：§3电子在