高等数学方明亮7.2 偏导数课件.ppt

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1、第二节偏导数第七章(PartialDerivative)一、偏导数的定义及其计算方法二、高阶偏导数三、小结与思考练习8/14/20211一、偏导数定义及其计算方法在一元函数中曾从研究函数的变化率引入了导数的概念,对于多元函数也常常需要研究它的变化率.由于多元函数的自变量不止一个,变化率也就会出现也就会出现各种不同的情况;就二元函数z=f(x,y)而言,当点(x,y)沿各种不同的方向变动趋向于(x0,y0)时一般有不同的变化率.我们先讨论当沿着平行于x轴或y轴方向变动(即一个自变量变化,而另一个自变量固定不变)时函数的变化率.此时,它们就是一元函数的变化率.至于其他各个方向的变化率

2、,我们将在第七节中讨论.8/14/20212在点存在,的偏导数,记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意:定义18/14/20213若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为或y偏导数存在,同样可定义对y的偏导数8/14/20214例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数定义为(请自己写出)偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.8/14/20215是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的二元函数偏导数的几何意义:8/14/20216函数在某点各偏导数都存在,显然例如

3、,但在该点不一定连续.在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!注意:8/14/20217解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.(自学课本例1)例1求8/14/20218解:所以8/14/20219例3求的偏导数.解:例4设求证证:8/14/202110偏导数记号是一个求证:证:说明:(R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,(补充题)例5已知理想气体的状态方程8/14/202111二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数,则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:8/14/20

4、2112例如,z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为类似可以定义更高阶的偏导数.8/14/202113解:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及(补充题)例6求函数8/14/202114二者不等例如,8/14/202115则例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明略)定理8/14/202116满足拉普拉斯证:利

5、用对称性,有方程例6证明函数8/14/202117内容小结1.偏导数的概念及有关结论定义;记号;几何意义函数在一点偏导数存在函数在此点连续混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)8/14/202118课外练习习题7.21;2(偶数题);3;5;7;8(4)思考与练习设方程确定u是x,y的函数,连续,且求8/14/202119解:设方程确定u是x,y连续,且求的函数,8/14/202120

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