刚体力学课件.ppt

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1、第三章刚体力学刚体也是一个理想模型，它可以看作是一种特殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程后，着重研究平面平行运动和定点运动。§3.2角速度矢量§3.1刚体运动的分析第三章刚体力学§3.3欧勒角§3.4刚体运动方程与平衡方程§3.5转动惯量§3.6刚体的平动与绕固定轴的转动§3.7刚体的平面平行运动§3.8刚体绕固定点的运动§3.9重刚体绕固定点转动的解§3.10拉莫尔进动§3.1刚体运动的分析1.描写刚体位置的独立变量质点3个变

2、量质点组3n个变量A确定刚体在空间的位置，需要几个变量？CB6个变量可以确定刚体位置2.刚体运动的分类平动的独立变量为三个1、平动世界最大的摩天轮——“伦敦眼”定轴转动的独立变量只有一个2、定轴转动平面平行运动的独立变量有三个3、平面平行运动定点转动的独立变量有三个，其中两个确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转动的角度。4、定点转动5、一般运动刚体一般运动的独立变量有六个有限转动不是矢量，它不满足矢量加法对易律§3.2角速度矢量1.有限转动与无限小转动无限小转动是矢量，它满足矢量加法交换律证明位移矢量平面若是矢量它应当满足矢量加法交换律2）转动后：1）转动前：3）再

3、转动后：不计二阶微量，则有交换转动次序，则有已知对线位移，有即可得2.角速度矢量§3.3欧勒角1.欧勒角节线ON进动角自转角章动角Z轴位置由θ，φ角决定2.欧勒运动学方程在直角坐标系1.力系的简化§3.4刚体运动方程与平衡方程力的作用线不能随意移动力的可传性原理共点力系的简化平行四边形法则共面非平行力系的简化力的可传性原理+平行四边形法则平行力系的简化合力的量值和方向由代数和确定合力的作用线用力矩关系确定（合力对垂直于诸力的某轴的力矩与诸分力对同一轴线力矩的代数和相等）力偶矩空间力系的简化空间力系可简化为对某一简化中心的主矢和主矩既不平行又不汇交的力2.刚体运动微分方

4、程对质心的动量定理质心的运动规律与固定点的一样对质心的角动量定理思路将作用在刚体上的力简化为过质心的力及对质心的力矩。6个方程正好确定刚体的6个独立变量动能定理可作为辅助方程3.刚体平衡方程对共面力系，有例p171，如图，求A处的摩擦系数。解是共面力系的平衡问题解出1.刚体的动量矩§3.5转动惯量刚体对O点的动量矩令有2.刚体的转动动能3.转动惯量转动惯量令回转半径平行轴定理4.惯量张量和惯量椭球对质量连续分布的刚体，转动惯量轴转动惯量惯量积注意刚体绕不同轴转动，转动惯量不同至转动瞬轴的垂直距离是否有简单的计算公式？因为由可得上式也可用惯量张量表出惯量椭球方程将坐标系

5、固定在刚体上，使惯量系数为常数。进一步选择坐标轴取向，来消去惯量积。在转动轴上取线段Q点的坐标利用Q点的轨迹方程得到5.惯量主轴及其求法一般坐标系下的惯量椭球若取椭球三主轴为坐标轴，交叉项消失，得到主轴坐标系下的惯量椭球动能和角动量简化为一般坐标系下的惯量椭球主轴坐标系下的惯量椭球惯量主轴的求法从数学方面看，就是解析几何里求二次曲面主轴的方法，或者线性代数里求本征值的方法。在力学里，对于具有对称性的均匀刚体，可利用对称性方便地求出。x轴对称(x为主轴)x轴对称xy面对称xy面对称(z为主轴)例均匀长方形薄片绕对角线的转动惯量。p182解（A）直接用定积分解（B）解（C

6、）取惯量主轴为坐标轴§3.6刚体的平动与绕固定轴的转动1.刚体平动2.定轴转动定轴转动时只有一个变量，用角位移就可以确定刚体位置。定轴转动动力学方程转动方程机械能守恒例复摆解运动微分方程由转动方程周期讨论等值单摆长若以O’为悬点振动周期解选取均匀杆模型进行估算，则自然步频率等于杆的固有频率时（共振）最舒服，如图：Omglθ取l为1米，则步频率为1.62秒例每个人行走时都会有一种自然步频，以这种步频行走很舒服，而试图以较快或较慢的步频行走会感到不舒服。略去膝关节的效应，试用一种最简单的模型来估算该步频。由转动方程3.定轴转动轴上的附加力刚体作定轴转动，可看作是AB两点不

7、动的约束运动，去掉约束代之以约束反力，就可以动量定理和动量矩定理求运动和约束反力。为平衡方程，可求静约束反力。为运动方程，可求动约束反力。要使刚体转动时轴上没有附加压力，要有该方程组有解的条件是xc,yc,Iyz和Izx同时为零，即重心在转动轴（惯量主轴）上。例2涡轮可以看作是一个均质圆盘．由于安装不善，涡轮转动轴与盘面法线成交角α＝1o．巳知涡轮圆盘质量为20千克，半径r=0.2米，重心O在转轴上，O至两轴承A与B的距离各为a=b＝0.5米．设轴以12000转／分的角速度匀速转动时，试求轴承上某一时刻的最大压力。解因是几何对称轴，而重心O在转轴上，