数理逻辑 谓词演算课件.ppt

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1、1.6 谓词和量词考察以下推理： “所有的人都是要死的” “苏格拉底是人” “所以苏格拉底是要死的”这是著名的苏格拉底论证，凭直觉我们认为它是正确的，但用命题演算无法证明出来。究其原因，是因为在命题演算中，原子命题是演算的最小单位，不考虑命题内部的成分、结构及其逻辑特征。为了深入研究形式逻辑的推理问题，有必要引入谓词演算。1.6.1谓词考察以下几个例子 例1(a)他是三好学生x是三好学生   (b)张明生于北京x生于y右侧是每个例子的模式，“是三好学生”刻画x的性质，“生于”刻画x和y的关系。其中：“他”、“张明”、“北京”叫做个体，代表个体的变

2、元叫个体变元。刻画个体的性质或反映几个个体间关系的模式叫谓词。“是三好学生”、“生于”都是谓词。谓词一般用大写字母P、Q、R、…表示，个体用小写字母a、b、c、…表示。单独个体和谓词不能构成命题，故不能将它们分开以表示命题。设P表示“是三好学生”，则“x是三好学生”表示为P(x)；Q表示“生于”，则“x生于y”表示为Q(x，y)。P(x)、Q(x，y)等叫谓词命名式，简称谓词。一个个体变元的谓词叫一元谓词，两个个体变元的谓词叫二元谓词，一般，n个个体变元的谓词叫n元谓词，记为P(x1，x2，…，xn)。一个字母代表一特定谓词，例如F代表“是质数”，则称此字母

3、为谓词常元，若字母代表任意谓词，则称此字母为谓词变元。谓词命名式中个体变元的取值范围叫论述域或个体域。谓词命名式中，若谓词是常元，个体变元代以论述域中的某一个体，就成为一个命题。例如:F(x)：x是质数，则：F(5)是真，F(4)是假，所以谓词命名式是一个命题函数。1.6.2量词为了表达全称判断和特称判断，有必要引入量词。量词有两个：全称量词和存在量词。1.全称量词x读做“对一切x”、“对任一x”或“对每一x”，这里是全称量词，x标记所作用的个体变元。xP(x)表示“对一切x，P(x)是真”xP(x)表示“对一切x，P(x)是真”xP(x)

4、表示“并非对一切x，P(x)是真”xP(x)表示“并非对一切x，P(x)是真”2.存在量词x读做“存在一x”、“对某些x”或“至少有一x”，这里是存在量词，x标记所作用的个体变元。它的意思是肯定存在一个，但不排斥多于一个。xP(x)表示“有一x使P(x)是真”xP(x)表示“有一x，使P(x)是真”xP(x)表示“至少存在一x使P(x)是真，并非这样”xP(x)表示“至少存在一x使P(x)是真，并非这样”   在谓词P(x)等的前边加上全称量词x或存在量词x，说成是变元x被全称量化或存在量化。例2(a)y(y

5、)     (c)y(y

6、有一个论述域包含所有的个体变元，这个论述域称为全总个体域。用了全总个体域以后，个体变元取值范围一致了，但不同论述对象需用不同的特性谓词加以刻画。例3在全总个体域中用符号表示“所有的人都是要死的”D(x)：x是要死的M(x)：x是人  则“所有的人都是要死的”为x(M(x)D(x))“有的人不怕死”为    x(M(x)D(x))以上两式中，M(x)是特性谓词。用以刻画论述对象具有“人”这一特性。特性谓词怎样加入到断言中去，有以下两条规则：1）对全称量词，特性谓词作为条件式的前件而加入之  ，2）对存在量词，特性谓词作为合取项而加入之。1.7谓词演

7、算的永真公式1.7.1基本定义定义1.7-1两个任意谓词公式A和B，E是它们公有的论述域，若 （1）对公式A和B中的谓词变元（包括命题变元），指派以任一在E上有定义的确定的谓词。 （2）对谓词命名式中的个体变元，指派以E中的任一确定的个体。所得的命题具有同样的真值，则称公式A和B遍及E等价，记为在E上AB。定义1.7-2如果两谓词公式A和B，在任意论述域上都等价，则称A和B等价，记为AB。定义1.7-3给定任一谓词公式A，如果在论述域E上，对公式A中的谓词和个体变元进行定义1.7-1中的两种指派，所得命题 (1)都真，则称A在E上有效或在E上永真

8、。 (2)至少有一个是真，则称A在E上可满足。