钟面问题新解法.doc

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1、钟面问题新解法曾huaguo关于钟面问题，从资料和考题中，我们发现与钟面相关的题型大至有以下四种：1.已知当前时刻，求时针与分针组成的夹角；2.已知当前时针与分针的组成的夹角，求当前时刻；3.已知始、终时刻两针组成的夹角，求经过的时间。4.在某一时段内两针重合，求此时的具体时刻。从解答的结果看，时针与分针组成的夹角，实际上就是时针与分针在某段时间内分别从钟面的“0”（即12）刻度绕钟面旋转所处位置的角度差，下面就从不同的状态来探讨时钟问题的新解法。一.整点时时针与分针组成的夹角：经观察不难发现，整点时分针一定指在“0”刻度上，而时针的位置不确定

2、，所以：当0≤整点数≤6时，时针与分针组成的夹角就是时针从“0”到当前时刻所形成的夹角。这时可把这个夹角看作是时针与分针（视分针为0°）从“0”到所处位置的角度差，因为时针每时旋转30°，假设夹角为∠α，整点数为h，那么，求夹角的计算公式为∠α=30×h；当6≤整点数≤12时，分针可视为360°，而时针旋转的角度＞180°，但夹角应≤180°，所以求夹角的计算公式为：∠α=360－30×h；当整点数为12时，因为时针与分针重合在同一刻度上，所以夹角为∠α=360°－360°或∠α0°－0°显然，整点时时针与分针组成的夹角很容易求得。二.非整点时

3、时针与分针组成的夹角：因为时针与分针的速度不同，且时针又不在整点位置，因此分针一定不在“0”刻度上。所以，非整点时刻时针与分针组成的夹角就没那么容易求得。我们知道，时针每小时绕钟面旋转360/12=30°，那么每分绕钟面旋转30/60=0.5°；而分针每分绕钟面旋转360°/60=6°，所以时针与分针每分钟绕钟面旋转的角度差（即速度差）为6°－0.5°=5.5°。虽然在同一时段内时针与分针分别在钟面上所绕角度的大小不能确定，但它们每分钟所绕的角度差是不变的。又因为非整点时刻时针不可能停留在整点位置上，所以时针与分针所组成的夹角，就是时针与分针所

4、绕钟面的总角度差（即总距离差），还因有时时针在前分针在后，而有时是分针在前时针在后，所以，时针与分针组成的夹角就是时针与分针绕钟面旋转的总角度差的绝对值。如果设当前时刻的角度为α，时为h，分为m，那么，夹角α与时h、分m之间的关系为：∠α=

5、30h－5.5m

6、,(其中α、m为非负数，h非负整数，且h≦12，0≦m≦60；0°≦α≦180°，下同）。三.当两针重合时，时针与分针的角度差为0°，所以分针的角度等于时针的角度，即5.5m=30h，化简得：m=30h/5.5四.实例检验1.早晨5点整，求时针与分针所组成的夹角。解.因为h=5，又5<6，

7、那么把5代入公式：∠α=30×h∠α=30×5∠α=150°答：这时的角度为150°。2.晚上8点整，时针与分针所组成的夹角是多少？解.因为h=8，又8>6，所以把8代入公式：∠α=360－30×h；∠α=360－30×8∠α=120°答：这时时针与分针组成的夹角为120°3.下午6点多小李吃过晚饭出去散步，他看了一下手表，发现手表上的时针与分针所组成的夹角是110°，还没到7点他就回家了，这时他发现手表上的时针与分针所组成的夹角又是110°，求小李外出散步用了多长时间？解.分析：因为两次时针与分针所组成的夹角都是110°，全又都在同一时段内（

8、即h=6），所以，只需把“6”和“110”代入公式∠α=

9、30h－5.5m

10、即可。

11、30×6－5.5m

12、=110，180－5.5m=1105.5m=180＋110和5.5m=180－110，解得m=52(分)和m=12（分），说明小李出门时为6时12分；回家时为52分。52－12=40（分）答：小李外出散步用了40分钟。4.上午8点24分，时针与分针所组成的夹角是多少度？解：

13、30×8－5.5×24

14、=

15、240－132

16、=±108，因为角度不能为负，所以应是108°答：8点24分，时针与分针所组成的夹角为108°。5.下午3点过多少分，时针与分

17、针组成的夹角为75°？解：

18、30×3－5.5m

19、=75

20、90－5.5m

21、=755.5m=90＋75和=90－75解得m=30和m=2，答：下午3点2分和30分时，时针与分针所组成的夹角为75°6.上午几点40分，时针与分针所组成的夹角为110°？解：

22、30h－5.5×40

23、=120

24、30h－220

25、=11030h－220=±11030h=±110+220h1=11和h2=3因为h2的值3为分数，不合题意，所以只有上午11时40分时，时针与分针组成的夹角为110°答：上午11时40分时.，时针与分针所组成的夹角为110°。7.晚上8点多，小英看完

26、电影回家，发现墙上挂钟的时针不见了，你能说出是什么原因吗？这时是几点几分？解：分析，时针不见了，说明时针被分针隐盖了，这叫做两针重合，这时两针组成的夹