线性代数总复习课件.ppt

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1、线性代数总复习一、行列式二、矩阵三、向量之间的关系四、线性方程组的解五、特征值与特征向量第一章教学要求：1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质。2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。3．理解克莱姆法则及其应用。n阶行列式的计算方法很多，除直接按定义计算外，一般还有下列方法：1．利用行列式的性质化为三角形行列式计算法2.降阶展开法行列式的计算第二、三章教学要求：1．理解矩阵的概念。2．了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质。3．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂、方阵乘积的行列式。4．

2、理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆。5．掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法；及求矩阵的秩的方法。6．了解分块矩阵及其运算。1．了解n维向量的概念。2．理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用有关向量组线性相关、线性无关的重要结论。3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和求向量组的极大线性无关组及秩。4．了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵秩的关系。重要结论2重要结论1第四章教学要

3、求：5．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。6．理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念及求法。3．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。4．掌握用行初等变换求非齐次线性方程组通解的方法。Ax=br(A)=r(A,b)=n有唯一解r(A)r(A,b)无解齐次方程的基础解系克拉默法则，r(A)=r(A,b)

4、的矩阵step4.选择自由未知量，基本未知量step5.写出同解方程step6.求出基础解系step7.写出通解怎样选择？怎样求？齐次线性方程组求解过程step1.增广矩阵初等行变换化为行阶梯形矩阵step2.讨论方程组的解step3.（无穷解时）进一步将矩阵化为各首非零元为1，所在列其余元素为零的矩阵step5.求出非齐次线性方程组的特解step7.求出齐次线性方程组的通解step8.写出非齐次线性方程组的通解怎样求？非齐次线性方程组求解过程step4.写出非齐次线性方程组的同解方程组step6.写出齐次线性方程组的同解方程组1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及

5、性质，会求矩阵的特征值和特征向量。2．了解相似矩阵的概念、性质及掌握矩阵可相似对角化的充分必要条件。3．掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法。结论4．了解内积的概念，掌握线性无关向量组标准规范化的施密特正交化方法。向量的单位化等。第五章教学要求：第五章教学要求：1．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解二次型秩的标准形、规范形的概念，了解正、负惯性指标（数）。2．掌握化二次型为标准形的方法（配方法）。3．会判定二次型和对应矩阵的正定性等。化二次型为标准形的方法二次型不出现平方项，只有xixj的乘积项.平方项系数至少有一个不等于零。判别n元实二次型正定

6、的充要条件是：1）A是正定矩阵2）f的正惯性指数为n3）f的规范形为4）f的标准形5）存在可逆矩阵C，使实对称矩阵A=CTC6）实对称矩阵A合同于I7）实对称矩阵A的n个特征值全大于零。充要条件1线性相关一般情况当向量个数＝向量维数相应的齐次线性方程组x1a1+x2a2+…+xmam＝θ有非零解系数行列式D＝0线性无关相应的齐次线性方程组x1a1+x2a2+…+xmam＝θ只有唯一零解系数行列式D≠0充要条件2线性相关其中至少有一个向量可以由其余m-1个向量线性表示线性无关其中每一个向量都不能由其余m-1个向量线性表示部分与整体长短变化向量个数与维数线性相关部分相关

7、=>整体相关缩短不变性若向量组中向量个数＞向量维数必线性相关线性无关整体无关=>部分无关加长不变性Rn中，任一无关组向量个数≤向量维数n向量组a1,a2,···,am线性无关，而添加β形成的向量组a1,a2,···,am,β线性相关，则β可由a1,a2,···,am线性表示，且表示唯一。结论1结束计算问题1）怎样求矩阵A的秩？------行、列则秩（A）＝行阶梯形矩阵中非零行的行数－－最常用2）怎样求向量组的秩？------行、列⑴以向量组中各向量作为列向量，构成矩阵A；⑵求出矩阵A的秩，也即原向量组的秩3）怎样判断向量组的相(无)关性？------行、列⑴求出