三维转动群的覆盖群课件.ppt

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1、3.3三维转动群的覆盖群SU(2)一、二维幺模幺正矩阵群SU(2)1.群元素对于群中任意元素u，它的矩阵元素满足二维幺模幺正矩阵（detR=1,R+R=RR+=1）的集合，按照普通矩阵的乘法，满足群的四个条件，构成群，记作SU(2)群1将复数c，d用4个实数表示出来，取则4个实数中只有3个是独立的为了下面方便讨论，我们用实矢量ω的球坐标ω,θ,φ来代替上面实参数hi（3个独立的量）→2其中，ω的长度是ω,方向沿n(θ,φ)方向→^其中引入矢量σ代表3个泡利矩阵：无迹，幺正，厄米→矢量满足所有矢量的代数关系，如矢量点乘3由上面式子可以证明SO(3)群二、群空间

2、与SO(3)相比较，矢量ω的变化范围即为群空间：→半径为2π的球体球内的点与SU(2)群元素u间有一一对应的关系外部球面上的点对应同一个元素（-1）特点SU(2)群的群空间是连通的；群中任一元素u都可以由恒元出发，在群空间连续变化得到——简单李群4连通度——单连通SO(3)群空间：只有直径两端的点对应同一元素（连线按跳跃次数的奇，偶分两组，双连通）SU(2)群空间：外球表面对应同一个元素（球面上的跳跃可以看成一条连续曲线，可通过曲线在群空间的连续变化，消去跳跃，因此只有一组连线，单连通）SU(2)群是紧致李群（群空间是欧氏空间的闭空间）相同ω的元素u(n,ω

3、)互相共轭，构成一类^三、SO(3)与SU(2)同态关系1.无迹厄米矩阵X♠泡利矩阵：无迹，厄米，幺正泡利矩阵的实线性组合，仍是无迹，厄米矩阵5♠反之，任何二维无迹、厄米矩阵X，若只包含三个独立实参数，则可展开为泡利矩阵的实线性组合♠现取：组合系数为三维空间任一点P的三个直角坐标，即无迹矩阵与P点位置坐标r有一一对应关系，可验证→2.同态关系的建立♠设u∈SU(2)，是任意一个二维幺模幺正矩阵，X经过u-1的相似变换仍是一个无迹厄米矩阵6且有相同的行列式detX'=detX♠无迹矩阵X与r，则X’与r’一一对应关系，即X’对应空间另一点P’→→♠r’的分量可

4、以表示为r的分量的线性齐次函数→→因此R∈O(3)♠显然u取恒元时，X’=uXu-1相当于无变换，则r与r’重合，即R是恒元→→7♠u可以由恒元在SU(2)群空间连续变化得到，对应R也可由恒元在O(3)群群空间连续变化得到（但只能是在有恒元的一个连续片内），即R∈SO(3)♠将X→X’，对应点变化P→P’，位置矢量r→r’的变换R∈SO(3)→→♠反之，若R∈SO(3),它将r→r’,对应点变化P→P’，则X→X’；因为X是无迹厄米矩阵，且detX’=detX，所以X与X’必将通过幺模幺正相似变换u∈SU(2)相联系，即前面的X’=uXu-1，但这样的矩阵不

5、唯一→→♠设（u2-1u1）可于任意矩阵X对易，则它必为常数矩阵，即8u2、u1为幺模矩阵：各相似变换之间差一个+1因此，即所有相似变换矩阵为+u__♠将X、X’按泡利矩阵展开式代入它们的相似变换，则给出了SO(3)群一个元素R与SU(2)群一对元素+u间的对应关系_容易证明：这种对应关系对群元素乘积保持不变，即SO(3)~SU(2)将u(n,ω)具体表达式代入，通过直接计算可得R矩阵（正是前面给出的形式）^9说明群元素对应关系至此：SO(3)群空间：半径为π的球体SU(2)：2π半径为π的球体内，SO(3)与SU(2)元素一一对应SU(2)：π→2π间圆环

6、所对应元素，等于半径为π的球体内相应元素的负值这一对+u对应SO(3)群同一元素_10群SO(3)双连通，SU(2)单连通，则SU(2)是SO(3)的覆盖群，同态对应关系2：1SO(3)群的真实表示，称为单值表示，却不是SU(2)群的真实表示；（D(SO3)≈SO3~SU2）SU(2)群的真实表示，严格说来不是SO(3)的表示，通常称为SO(3)群的双值表示，在物理上与自旋密切相关只要找到了SU(2)群的全部不等价不可约表示，也就找到了SO(3)群的全部不等价不可约单值表示和双值表示四、群上的积分1.积分概念有限群中群函数对群元素取平均值，推广到李群，变成群

7、函数对群元素的积分，即对群参数的带权积分11权函数权函数：1）群空间中，群元素R对应点的邻域dr体积内，元素的相对密度2）要求权函数Ｗ(R)单值，可积，不小于零，不发散，在群空间任何一个测度不为零的区域内不恒为零3）要求权函数在整个群空间积分是归一化的F(R)≥0,但不恒等于零群函数在群空间对群参数的这种积分，称为群上的积分122.群上积分的特点显然是线性运算希望选择权函数W(R)，使群上的积分对左乘、右乘群元素都保持不变即(dr)W(R)不依赖与群元素R以ω为参数计算SU(2)群群上积分的积分元结果→参数径向长度SO(3)群径向参数ω变化范围缩小一半对类积

8、分，可将角度积掉133.紧致李群的表示理论线性表示等