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1、多小波理论简介多小波是小波理论的新发展。与以前的标量小波(scalarwavelet)相比，它是多个尺度函数或者说是向量尺度函数生成的小波，它可以同时具有正交性、对称性、短支撑性和高阶消失矩等性质，这在标量小波中是不可能同时具有的。1994年,Goodman等人基于r重多分辨分析(MRA)建立了多小波的理论框架,并给出了多小波的例子；同年,Geronimo,Hardin和Massopust应用分形插值的方法成功地构造T出具有短支撑、正交的、对称的和二阶消失矩的两个尺度函数φ()x=[φφ,]；1996年,12TGeronimo,Hardin和Massop
2、ust再次应用分形插值的方法,构造ψ()x=[ψψ,],并被后12来者称为GHM小波。由于GHM小波的成功构造,立即吸引了许多从事小波分析的研究者，促使了多小波理论在近几年的迅猛发展。一、多小波的定义及原理正如标量小波中的情况一样，多小波的研究也是从多尺度函数开始的。具体地，多小波也是由多分辨率分析着手。1．多尺度函数：T2r令φ=[]φφ…φ，其中，φ∈LR()，rN∈，则可定义空间VjZ,∈如下：12rjjj/2V=−span{2φ(2ik):1≤i≤rk,∈Z},(1)ji（注意这里的定义与胡老师书上的定义略有差别，即j的符号为正的，与书上正好相2
3、反），一个多分辨率分析是指由（1）式定义的LR()中具有下列性质的子空间序列{}V：jjZ∈1）……⊂⊂⊂⊂VVV；−10122）∪VLR=()；jzj∈3）∩V={0}；jzj∈4）f()ii∈⇔VfVj(2)∈,∈Z；jj+15）{():1φi−≤ki≤∈r,kZ}构成V空间的一组Riesz基；i0这样，称φ为一个二尺度r重函数，并称此多分辨率分析为由φ产生的二尺度r重多分辨率分析。更进一步的，如果φ满足：<−φ()xjx,()φδ−>k=δ,(j,k,l,)m∈Zlmlmjk则称φ为二尺度正交r重尺度函数，并称由它生成的多分辨率分析为一个正交的r重
4、多分辨分析。由于VV⊂，那么类似于标量小波函数的情况，尺度函数φ()i可由{(2φi−∈kkz),}来01线性表示：φφ()xPx=−∑k(2k),(2)kZ∈2rr×其中，矩阵序列{}Pl∈()Z；对比标量小波的二尺度函数关系，这个方程称为矩阵kkZ∈二尺度关系。对（2）式两做傅立叶变换，可得到其频域的形式如下：φωˆˆ(2)=Pz()(),φω(3)1k其中，Pz()=∑Pzk，是φ的二尺度符号。2kZ∈多尺度函数具有有限支撑[0,M]，意味着具有有限个二尺度系数。特别的，有：P=<>0,fork0andkM。k2．多小波函数对于一个给定的二尺度r重
5、多分辨率分析空间{}V，我们定义W为V在V中的补空jjjj+1T间，即V是W和V的直和：VVW=⊕。同上理，令ψ=[]ψψ…ψ为多小波j+1jjjjj+112r2函数，其中，ψ∈LR()，rN∈，则可定义空间WjZ,∈如下：jjj/2W=−span{2ψ(2ik):1≤i≤rk,∈Z},(4)ji则向量小波函数ψ是半正交的多小波函数，如果它满足以下条件：1）VW⊥；jjjj/22）{2ψ(2i−≤ki):1≤∈r,kZ}构成W空间的一组Riesz基；ij同样，多小波函数也满足二尺度关系：时域形式：ψ()xQx=−∑kφ(2k),(5)kZ∈频域形式：ψˆ
6、(2)ωφ=Qz()(),ˆω(6)1k其中，Qz()=∑Qzk。2kZ∈这样，我们就得到了多小波的二尺度关系：(2)、(3)、(5)、(6)，对比标量小波的情况，这里的Pz()、Qz()其实就是滤波器，矩阵P、Q分别对应为滤波器的系数；对应单小波kk的滤波器Hz()、Hz()及相应系数hk()和hk()。不同的是这里的与多小波对应的滤波0101器时矢量滤波器，它的系数都是矩阵。3．a尺度多小波Tjj一般地，如果上述多分辨率分析中，φ=[]φφ…φ的尺度部分是a而非2，第四12r条性质改为f()ii∈⇔Vf()aVj∈,∈Z，那么我们可以得到一个由a尺度
7、r重函数φ产jj+1生的a尺度r重多分辨率分析。此种情况下，仍定义W为V在V中的补空间，那么与Wjjj+1jT对应的多小波函数为ψ=[ψψ…ψ]，同样，我们可以得到a尺度关系：12(1ar−)⎧φφ()xP=−∑k(axk),(7)⎪kZ∈⎨⎪ψφ()xQ=−∑k(axk),(8)⎩kZ∈⎪⎧φωˆˆ()()()aP=zφω,(9)⎨⎪⎩ψωˆ(aQ)=()(),zφωˆ(10)11kkPz()==∑∑PzQzkk,()QzaakZ∈∈kZ其中，P是rr×阶系数阵，Q是(1arr−)×阶系数阵。kk多小波的应用实质也是构造滤波器，对所要分析的信号做滤波，
8、因而主要就是求解系数P、Q，但是由于他们都是矩阵，因而设计灵活、自由度大的同时求
