向量五心终极版本(老师)讲解学习.doc

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1、向量五心终极版本(老师)精品文档向量与三角形内心、外心、重心、垂心、旁心知识的交汇一、五心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。(5)旁心——三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点二、“重心”的向量风采【命题1】已知是所在平面上的一点，若，则是的重心．如图⑴.M图⑵图⑴【命题2】

2、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的重心.【解析】由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图⑵.二、“垂心”的向量风采【命题3】是所在平面上一点，若，则是的垂心．【解析】由，得，即，所以．同理可证，．∴是的垂心．如图⑶.图⑷图⑶【命题4】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心．【解析】由题意，由于，收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档即,所以表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于

3、的直线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图⑷.三、“内心”的向量风采【命题5】已知为所在平面上的一点，且，，．若，则是的内心．　图⑹图⑸【解析】∵，，则由题意得，∵，∴．∵与分别为和方向上的单位向量，∴与平分线共线，即平分．同理可证：平分，平分．从而是的内心，如图⑸.【命题6】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的内心．【解析】由题意得，∴当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图⑹.四、“外心”的向量风采【命题7】已知是所在平面上一点

4、，若，则是的外心．图⑺图⑻【解析】若，则，∴，则是的外心，如图⑺。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档【命题7】已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心。【解析】由于过的中点，当时，表示垂直于的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图⑻。三、三角形性质总结1．O是的重心;若O是的重心，则故;为的重心.2．O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，则故3．O是的外心(或)若O是的外心则故4．O是内心的充要条件是

5、引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成　，O是内心的充要条件也可以是。若O是的内心，则ACBCCP　故　;是的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；三、经典例题训练题例10．若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证.证明若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.∴，.又垂心为H，，，∴AH∥CD，CH∥AD，∴四边形AHCD为平行四边形，∴，故.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心

6、的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11．设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证证明按重心定理G是△ABC的重心按垂心定理由此可得.补充练习1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足=(++2),则点P一定为三角形AB

7、C的（B）A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB边的中点1.B取AB边的中点M，则，由=(++2)可得3，∴，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.2．在同一个平面上有及一点Ｏ满足关系式：＋＝＋＝＋，则Ｏ为的（  D  ）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：，则P为的（  C  ）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：，则P的轨迹一定通

8、过△ABC的（  C  ）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：，则P点为三角形的（  D  ）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P点为三角形的（ B   ）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心6．在三角形ABC中，动点P满足：，则P点轨迹一定通过△ABC的：（B）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心7.已知非零向量与满足(+)·=0且·=,则△ABC为