中考数学专题复习练习：等腰三角形的性质.doc

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1、例01．如图，已知：在中，，，求各内角的度数.分析：因为是等腰三角形，因此，，所以只要求出的度数，就可以求出的度数.根据三角形内角和定理，又可求出的度数.解答：∵和是邻补角，又，∴∵，∴（等边对等角）∴说明：在等腰三角形中，两个底角相等，内角和为，所以只要知道等腰三角形的一个内角，就很容易求出它的另外两个角.例02．如图，已知：在中，，BD和CE是AC和AB边上的中线.求证：.分析：欲证，就要证明.或证明.证明：在中，∵，BD和CE是中线，∴.在和中，∴.∴.说明：三角形中，如果有两边相等，就有对应的两个角相等，我们可

2、以根据这些特点找出一些全等的关系，得出相应的对应线段或对应角相等的关系.例03．如图，已知：在中，如果，.求证：AE平分的外角.分析：要证AE平分，即证，又因为是的外角，因此有，所以，只需证即可.则由平行线的性质很快就能证出.证明：∵（已知），∴（等边对等角）又∵，∴.∵（已知），∴∴∴AE平分.说明：在等腰三角形中，角平分线，平行线往往同时出现.而有等腰、角平分线，就可能出现平行，有平分线和等腰就可能出现角平分线，同样，有角平分线和平行线往往会构成等腰三角形.例04．如图，中，，D是AC上一点，且，求的度数.分析题中

3、只给出了一些相等的线段，要求的度数，首先要把三角形中的边相等转化为角相等：，可见，在中，.由内角和定理可求出，解答因为，所以，.所以.设，则，.在中，解得.所以.说明在计算角的度数的题目中，若给出较多的等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质，找出图中某个三角形的各内角与未知数之间的关系，再利用三角形内角和定理，将“形”的总是转化为“方程”问题来解决.例05．已知：如图，D、E分别为等边的边BC、AC上的点，且，BE、AD相交于点F.求证：.分析要证，而等边的每个内角都等于，所以只要证明它与的一个内角相等，又由，而，所以只

4、要证明.解答因为为等边三角形（已知），所以，.在和中，所以，所以.因为（外角定理）所以.说明本题亦可证明.等边三角形的每个内角都等于，每条边都相等，是题目中的隐含条件，解题时要注意.例06．如图，中，，E在AC上，且，DE的延长线与BC相交于F.求证：.分析要证明，只要证明，也就是证明，而，.解答∵，∴.∴.又∵在中，，∴，∴.说明要证明，也就是要证明DF与等腰的底边BC垂直.可以作底边BC上的高AG，然后再证明.如下图.例07．已知：如图，，BD平分，且.求证：.分析与不在同一个三角形内，也没有直接的联系，为了证明，

5、需要将它们搬到一块，看看是否能构成平角.这种搬动的方法有好几种.解答一如图，∵BD平分，∴.在BC上取，连结DE.在中，∴（边角边）∴，（全等三角形对应角、对应边相等）∵，∴.∴（等边对等角），∴解答二如下图，延长BA到F，使，连结DF.∵BD平分，∴.在和中，∴，∴，（全等三角形对应角、对应边相等）又∵，∴，∴，∴.说明在等腰三角形中，经常添加的辅助线是底边上的高或底边上的中线或顶角的平分线.本题还可以有下面的一些搬动和的方法，如下图.过点D作于F，于E.再证，然后证明.也可以过点A作交BC、BD于G、H，连结DG.

6、再证，然后证明.例08．已知：如图，D、E分别为等边的边BC、AC上的点，且，连结BE、AD交于F，求证：.分析：要证，由等边三角形知它的内角都等于，故只须证它与的一个内角相等，又.而知，而只需证即可.证明：∵为等边三角形（已知）∴（等边三角形的定义）在和中∴∴（全等三角形的对应角相等）∵（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∴例09．已知：如图，在中，，.求证：.分析：已知，出现2倍角，作辅助线，使2倍角为等腰三角形的顶角的外角，故可作延长AB到E，使，再连结ED，同时通过证全等三角形，使，而，得到证明结

7、论.证明：延长AB至E，使，连DE则（等边对等角）∵（三角形的一个外角等于它不相邻两内角的和）∴∵（已知）∴在和中∴∴（全等三角形的对应边相等）∵∴即例10．已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为和两部分，求，它的三边长.分析：在中，.BD是中线，BD把周长分为和两部分，有可能是，也可能是.所以要分两种情况进行讨论.解答：在中，设.BD是它的中线，根据题意，设腰长为，底边长为，则有：或解这两个方程组得：或∴的三边长，或，.说明：在一个等腰三角形没有注明哪条边是腰，哪条边是底的情况下，要注意讨论，看一看各种条件是否符合

8、题意.例11．如图，已知：D，E是的BC边上的两点，并且.求的度数.分析：由可知三角形ADE是等边三角形，而和是等腰三角形，可根据等腰三角形等边对等角的性质求出相关的角的度数.解答：∵，（已知）∴是等边三角形.∴又∵，∴.而，∴.同理可得，∴说明：在一个图形中，有时出现不止一个等腰三角形，可以由每个等腰三角形中的两个底角相等，找出