高考数学专题复习教案： 函数的单调性与最值备考策略.doc

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1、函数的单调性与最值备考策略主标题：函数的单调性与最值备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。关键词：函数，单调性，最值，备考策略难度：3重要程度：5内容考点一　确定函数的单调性或单调区间【例1】(1)判断函数f(x)＝x＋(k＞0)在(0，＋∞)上的单调性．(2)求函数y＝log(x2－4x＋3)的单调区间．解　(1)法一　任意取x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).当≥x1＞x2＞0时，x1－x2＞0

2、,1－＜0，有f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，此时，函数f(x)＝x＋(k＞0)在(0，]上为减函数；当x1＞x2≥时，x1－x2＞0,1－＞0，有f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，此时，函数f(x)＝x＋(k＞0)在[，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f(x)＝x＋(k＞0)在(0，]上为减函数；在[，＋∞)上为增函数．法二　f′(x)＝1－，令f′(x)＞0，则1－＞0，解得x＞或x＜－(舍)．令f′(x)＜0，则1－＜0，解得－＜x＜.∵x＞0，∴0＜x＜.

3、∴f(x)在(0，)上为减函数；在(，＋∞)上为增函数，也称为f(x)在(0，]上为减函数；在[，＋∞)上为增函数．(2)令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝logu与u＝x2－4x＋3的复合函数．令u＝x2－4x＋3＞0.则x＜1或x＞3.∴函数y＝log(x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝logu在(0，＋∞)上是减函数，∴y＝log(x2－

4、4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．【备考策略】(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．(2)复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数．考点二　利用单调性求参数【例2】已知函数f(x)＝.(1)若

5、a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递减．(2)函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，求实数a的取值范围．(1)证明　任设x1＜x2＜－2，则f(x1)－f(x2)＝－＝－.∵(x1＋1)(x2＋1)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)上单调递减．(2)解　法一　f(x)＝＝a－，设x10.由于x1

6、，∴x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0，∴a＋1<0，即a<－1.故a的取值范围是(－∞，－1)．法二　由f(x)＝，得f′(x)＝，又因为f(x)＝在(－∞，－1)上是减函数，所以f′(x)＝≤0在x∈(－∞，－1)上恒成立，解得a≤－1，而a＝－1时，f(x)＝－1，在(－∞，－1)上不具有单调性，故实数a的取值范围是(－∞，－1)．【备考策略】利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调

7、性的定义：作差、变形，由f(x1)－f(x2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．考点三　利用函数的单调性求最值【例3】已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．审题路线　(1)当a＝时，f(x)为具体函数→求出f(x)的单调性，利用单调性求最值．(2)当x∈[1，＋∞)时，f(x)＞0恒成立→转化为x2＋2x＋a＞0恒成立．解　(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，联想到g(

8、x)＝x＋的单调性，猜想到求f(x)的最值可先证明f(x)的单调性．任取1≤x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋＝，∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0.又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.(2)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝＞0恒成立，则⇔等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上