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1、2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法第1课时 综 合 法问题引航1.综合法的定义是什么?有什么特点?2.综合法的推证过程是什么?综合法定义推证过程特点利用_________和某些数学_____、_____、_____等,经过一系列的__________,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(P表示__________、已有的_____、_____、_____等,Q表示_______________).顺推证法或由因导果法已知条件定义公理定理推理论证已知条件定义公理定理所要证明的结
2、论1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法.()(2)综合法证明的依据是三段论.()(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件.()【解析】(1)错误.综合法是一种由因导果的顺推证法.(2)正确.综合法的逻辑依据是三段论.(3)正确.综合法从“已知”看“可知”,逐步推出“未知”,其逐步推理实际上是寻找它的必要条件.答案:(1)×(2)√(3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数,则b的值为.(2)在不等式“a2+b2≥2ab”的证明中:因为a2+b2-2ab=(
3、a-b)2≥0所以a2+b2≥2ab,该证明用的方法是.(3)角A,B为△ABC内角,A>B是sinA>sinB的条件(填“充分”“必要”“充要”或“既不充分又不必要”).【解析】(1)由于f(x)为偶函数.所以f(-x)=f(x).所以ax2-bx+c=ax2+bx+c,所以-bx=bx,所以b=0.答案:0(2)由因导果,易知该证法为综合法.答案:综合法(3)角A,B为△ABC内角且A>B,所以sinA>sinB,由sinA>sinB(A,B均为△ABC的内角)知A>B.答案:充要【要点探究】知识点综合法1.综合法的基本思路综合法的基本思路是“由因
4、导果”,由已知走向求证,即从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后导出待证结论或需求的问题.2.综合法的两个特点(1)用综合法证明不等式,证明步骤严谨,逐层递进,步步为营,条理清晰,形式简洁,宜于表达推理的思维轨迹.(2)因用综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为:故要从A推理到D,由A推演出的中间结论未必唯一,如B,B1,B2等,可由B,B1,B2进一步推演出的中间结论则可能更多,如C,C1,C2,C3,C4等等.所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”.【知识拓展】综合法证明不等式时常用的不等式(1)a
5、2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号).(2)(a,b∈R*,当且仅当a=b时取等号).(3)a2≥0,
6、a
7、≥0,(a-b)2≥0.(4)≥2(a,b同号).≤-2(a,b异号).(5)a,b∈R,a2+b2≥(a+b)2.(6)不等式的性质定理1对称性:a>b⇔bc.定理3加法性质:⇒a+c>b+c.推论⇒a+c>b+d.定理4乘法性质:⇒ac>bc.推论1⇒ac>bd.推论2⇒an>bn.定理5开方性质:【微思考】综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理?提示:综合法的推理过程是演绎推理,它的每一步推理都是严密的逻辑推
8、理,得到的结论是正确的.【即时练】1.(2014·福州高二检测)下面的四个不等式:①a2+b2+3≥ab+(a+b);②a(1-a)≤;③≥2;④(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2,其中恒成立的有.2.求证:a2+b2+c2≥ab+ac+bc.【解析】1.因为a2+b2≥2ab,a2+3≥2a,b2+3≥2b.相加得2(a2+b2+3)≥2ab+2(a+b),所以a2+b2+3≥ab+(a+b),所以①正确.由于a(1-a)-=-a2+a-=-≤0.所以②正确.(a2+b2)·(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2≥a2c
9、2+2abcd+b2d2=(ac+bd)2,所以④正确.而≥2,因为a,b的符号不确定,所以不一定成立.答案:①②④2.因为a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc.将此三式相加可得2(a2+b2+c2)≥2ab+2ac+2bc,所以a2+b2+c2≥ab+ac+bc,所以原式成立.【题型示范】类型一用综合法证明三角问题【典例1】(1)(2014·马鞍山高二检测)在△ABC中,已知cosAcosB>sinAsinB,则△ABC的形状一定是.(2)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b-c)sinB+
10、(2c-b)sinC.①求证:A的大小为60°;②若sinB+sinC=.证明△ABC为等边三
