数理统计习题.doc

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1、一、数理统计基础知识1.在一本书上我们随机地检查了10页，发现每页上的错误数为4560314214试计算样本均值、样本方差和样本标准差。解样本均值样本方差，样本标准差2.设有容量为的样本，它的样本均值为，样本标准差为，样本极差为，样本中位数为。现对样本中每一个观测值施行如下变化如此得到样本，试写出样本的均值、标准差、极差和中位数。解不妨设样本为，样本为，且，，，因而.，3.设是来自的样本，试求和。解均匀分布的均值和方差分别为0和，该样本的容量为，因而得，4.设是来自的样本，试求下列概率(1)；(2)解(1)(2)。5.在总体中抽取容量为的样本，如果要求样本均值落

2、在内的概率不小于0.95，则至少为多少？解样本均值，从而按题意可建立如下不等式，即，所有，查表，，故或，即样本量至少为4。6.设是来自的样本，经计算，，试求。解因为，用表示服从的随机变量的分布函数，注意到分布是对称的，故。利用统计软件可计算上式，譬如，使用MATLAB软件在命令行中输入tcdf(1.0405，15)则给出0.8427，直接输入2*tcdf(1.0405，15)-1则给出0.6854。这里的就表示自由度为的分布在处的分布函数。于是有。7.设是来自的样本，试确定最小的常数，使得对任意的，有。解由于，所以的值依赖于，它是的函数，记为，于是，，其导函数为

3、其中表示的密度函数，由于，，故，从而，这说明，为减函数，并在处取得最大值，即于是，只要，即就保证对任意的，有。最大的常数为。8.设是来自的样本，试求的分布。解由条件，，，故，又，且与服从二元正态分布，故与独立，于是。9.设总体为，为样本，试求常数，使得。解由上题，，，由于取值于，故由题目所给要求有，从而。于是，这给出。10.设是来自的样本，则，，试求常数使得服从分布，并指出分布的自由度。解由条件：，，，且，，相互独立，因而，故。这说明当时，，自由度为。二、点估计11.从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h）：1050，1100，1130，1

4、040，1250，1300，1200，1080试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计。解样本均值，样本标准差因此，元件的平均寿命和寿命分布的标准差的矩估计分别为1143.75和96.0652.12.设总体，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为0.5，1.3，0.6，1.7，2.2，1.2，0.8，1.5，2.0，1.6试对参数给出矩估计。解由于，即,而样本均值，故的矩估计为。13.设总体密度函数如下是样本，试求未知参数的矩估计。（1）；（2）；（3）；（4）。解(1)总体均值，即，故参数的矩估计为。（2）总体均值，所以，从而参数的矩估计(3)

5、由，可得，由此，参数的矩估计。（4）先计算总体均值与方差，，由此可以推出，，从而参数，的矩估计为，。14.甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对，校完后，甲发现a个错字，乙发现b个错字，其中共同发现的错字有c个，试用矩估计法给出如下两个未知参数的估计：（1）该书样稿的总错字个数；（2）未被发现的错字数。解（1）设该书样稿中总错字的个数为，甲校对员识别出错字的概率为，乙校对员识别出的错字的概率为，由于甲、乙是彼此独立地进行校对，则同一错别字能被甲、乙同时识别的概率为，根据频率替换思想有。由独立性可得矩法方程，解之得。（2）未被发现的错字数的估计等于总错字

6、数的估计减去甲、乙发现的错字数，即。譬如，如设，则该书样稿中错字总数的矩法估计为，而未被发现的错字个数的矩法估计为个。15.设总体概率函数如下，是样本，试求未知参数的最大似然估计。（1）；（2）已故，。解（1）似然函数为，其对数试然函数为。将关于求异并令其为0即得到似然方程。解之得。由于，所以是的最大似然估计（2）似然函数为，其对数似然函数为。将关于求异并令其为0得到似然方程，解之可得。由于，这说明是的最大似然估计。16.设总体概率函数如下，是样本，试求未知参数的最大似然估计。（1），已知；（2）；(3)。解（1）样本的似然函数为。要使达到最大，首先示性函数应为

7、1，其次是尽可能大。由于，故是的单调增函数，所以的取值应仅可能大，但示性函数的存在决定了的取值不能大于，由此给出的最大似然估计为。（2）此处的似然函数为，。其对数似然函数为由上式可以看出，是的单调增函数，要使其最大，的取值应该尽可能的大，由于限制，这给出的最大似然估计为。将关于求异并令其为0得到关于的似然估计方程，解之。（3）设有样本，其似然函数为。由于是关于的单调递减函数，要使达到最大，应尽可能小，但由于限制可以得到，这说明不能小与，因而的最大似然估计为。17.设总体概率函数如下，是样本，试求未知参数的最大似然估计(1)；（2）;(3)。解（1）不难写出似然函

8、数为。对数似然函数为。将