导数的应用4导数的应用题.doc

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1、四：导数的应用题【例1】将边长为的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则的最小值是．【关键词】2010，江苏，高考，题14【解析】记剪下的三角形边长为，则，梯形的周长为；梯形的面积为，故，从而，故在上单调递减，在上单调递增，当时取到极小值，也即最小值．．【答案】【例2】设球的半径为时间的函数．若球的体积以均匀速度增长，则球的表面积的增长速度与球半径（）A．成正比，比例系数为B．成正比，比例系数为C．成反比，比例系数为D．成反比，比例系数为【关键词】2009，湖北，高考【解析】由题意可知球的体积为，则，由此可得，而球的表面积为，所以球的表面积的增长速度，即，故

2、选D．【答案】D【例3】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经测算，一个桥墩的工程费用为万元；距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为万元．⑴试写出关于的函数关系式；⑵当米时，需新建多少个桥墩才能使最小？【关键词】2009，湖南，高考【解析】⑴设需新建个桥墩，则，即，所以．⑵由⑴知，．令，得，所以．当时，，在区间内为减函数；当时，，在区间内为增函数；所以在处取得最小值，此时．故需新建9个桥墩才能使最小．【答案】⑴；⑵需新建9个桥墩才能使最小．【例1】两县城和相距

3、，现计划在两县城外以为直径的半圆弧上选择一点建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城和城的总影响度为对城与城的影响度之和，记点到城的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为，统计调查表明：垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为，当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为．⑴将表示成的函数；⑵讨论⑴中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由．【关键词】2009，山东，高考【解析】

4、⑴根据题意，，，且建在处的垃圾处理厂对城的影响度为，对城的影响度为，因此，总影响度为．又因为垃圾处理厂建在弧的中点时，对城和城的总影响度为，所以．解得，所以．⑵因为．由解得或（舍去），易知．，随的变化情况如下表：0↘极小值↗由表可知，函数在内单调递减，在内单调递增，，此时，故在上存在点，使得建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小该点与城的距离．【答案】⑴；⑵存在，该点与城的距离．【例1】如图，某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点、及的中点处，已知，．为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与、等距离的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道、、．设排污管道的总

5、长度为．⑴设，将表示为的函数；⑵请根据⑴中的函数关系，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短．【关键词】2008，江苏，高考，题17【解析】⑴因为，所以在的垂直平分线上，取的中点，又是的中点，所以点在上．因为，．在中，，，，故．⑵法一：因为，所以只要求函数的最小值．那么，，，．解得，取等号时，有最小值，此时，，，，即污水处理厂的位置在的垂直平分线上距离边处．法二：．由得，则．当，，所以函数在上是减函数．当时，，所以函数在上是增函数．那么当时，函数取得最小值．此时，．（下略）设，将表示为的函数．并且此关系式确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短．因为，所以．在中，，

6、故．若选择②，则得，两边平方，化简得．由得，化得，解得（舍去），或．当时，，．（下略）【答案】⑴；⑵污水处理厂的位置在的垂直平分线上距离边处．【例1】如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．⑴求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；⑵求面积的最大值．【关键词】2007，北京，高考，题19【解析】⑴依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．点的纵坐标满足方程，解得，，其定义域为．⑵记，，则．令，得．因为当时，；当时，，所以是的最大值．因此，当时，也取得最大值，最大值为．

7、即梯形面积的最大值为．【答案】⑴，其定义域为．⑵的最大值为．【例1】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．⑴求的值及的表达式；⑵隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小