中南大学线性代数-5.1-5.2-二次型及其标准形课件.ppt

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1、第一节二次型及其标准形第五章二、二次型的表示方法一、二次型及其标准形的概念三、化二次型为标准形一、二次型及其标准形的概念称为二次型.只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）．若标准形的系数只取1，-1或0，即称为二次型的规范形．1．用和号表示对二次型二、二次型的表示方法2．用矩阵表示在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．解例１设三、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问

2、题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．则矩阵的合同是一种等价关系，具有性质：说明用正交变换化二次型为标准形的具体步骤解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例2从而得特征值2.求特征向量即得正交向量组对于实对称阵不同特征值的特征向量正交，3．将正交向量组单位化于是所求正交变换为解例31.　若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，进行配方，使得配方后的项中不再含有这个变量，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过这样的非退化线性变换，就得到标准形;拉格朗日配方法，步骤如下：2.　若

3、二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.化二次型为标准形，若不限于正交变换，则可用解例1含有平方项去掉配方后多出来的项所用变换矩阵为解例2由于所给二次型中无平方项，所以再配方，得所用变换矩阵为说明：用不同的可逆线性变换把同一个二次型化为标准形时，二次型的标准形不是唯一的，但规范性是唯一的.五、小结1.　二次型及其标准形的概念3.　二次型化为标准形的方法：2.　二次型的矩阵、二次型的秩、矩阵合同拉格朗日配方法正交变换法（标准形中的系数为其特征值）