非线性方程求根课件.ppt

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1、第二章非线性方程求根序由实变量的非线性函数形成的方程称为非线性方程。若有数，使，或称为方程的零点。方程的根有实根和复根之分。则称为的根，一般的，非线性方程的根很难求得，实际应用中，也无必要得到根的精确表达式，只要得到满足一定精度的根的近似值即可。求方程根的近似值，需要解决的问题：⑴根的存在性方程有无根，有几个；⑵根的隔离找出有根区间，使得在一些较小的区间内方程仅有一个根，以得到根的较粗糙的近似值；⑶根的精确化利用合适的数值计算方法，逐步把根精确化，直至满足精度为止。1从1～1000这1000个自然数随机

2、抽出１个数，谁能根据提示“大了”“小了”“对了”先猜出这个数？猜数字游戏，看谁先猜中：10次以内能猜出吗？二分法的广泛应用2复习：零点定理（根的存在性定理）如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续的不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.3§1二分法设函数在区间上连续且则在内至少有一个实根，不妨设在内只有一个实根。取中点将其二分，若否则，若则若令则令从而得到方程的一个新

3、的有根区间其长度是的一半。对有根区间再取中点将其二分，施以上述同样的方法，从而又得到方程的一个新的有根区间其长度是的一半。连续重复上述步骤，反复二分下去，可能会在某一步得到方程根的精确值，首先则其次否则，便得到一组不断缩小的有根区间4其中每一个有根区间的长度都是前一个有根区间的一半，当时，上式极限为零，即这些区间最终必收缩于一点该点即为所求的根。区间的中点形成一个序列显然实际计算中，对于给定的根的允许误差只要就可确定得到满足精度要求的近似根,上述求非线性方程的实根的近似值的方法称为二分法。的长度为从而同

4、时也得到所需二分次数k.5例1用二分法求方程在区间内的实根的近似值，并指出其误差。解这里在内连续，所以是的有根区间。用二分法计算结果如下表：++++的符号2.10156252.1093752.093752.06252.1252.252.52.1093752.1252.1252.1252.252.532.093752.093752.0625222265432106若取其误差为（可求得根的精确值为）。例2用二分法求方程的非零实根的近似值,使其误差不超过。解如图，可确定故方程只有一个非零实根由用二分法计算结果

5、如下表：与横坐标介于与之间，除原点外只有一个交点，70.005363400.1560140.04042080.004962280.07517950.2183611.92968751.9218751.906251.93751.8751.751.93751.93751.93752221.9218751.906251.8751.8751.751.5543210所以可取注二分法算法简单，编制程序容易，缺点是不能求偶数重根和复数根，故而一般常用此方法求根的初始近似值，再用其他的求根方法精确化。8例不能求出所有根,

6、(即有可能漏根)。例如图该点可求出,但漏掉了四个点2.不能用于求偶重根、复根；不能推广到多元方程组求解；缺点:的等比级数的收敛速度相同。1.收敛速度不快,仅与公比为即是线性收敛的。9§2迭代法一、简单迭代法迭代法是一种逐次逼近的方法，其基本思想是使用某个固定公式反复校正根的近似值，从而得到一个近似根的序列,使得该序列的极限就是方程的根。然后从根的某个初始近似值出发，作迭代计算若连续且此序列收敛于则立得1、一般形式（具体做法）：依次得到一个序列为了求得方程的实根，首先把所求方程等价(同解)方程转化为即序列

7、的极限就是方程的根。10此时对于给定的允许误差，只要k适当大，就可作为方程根满足精度要求的近似值。这种求方程近似根的方法称为简单迭代法（逐次迭代法）。称为迭代公式或迭代过程称为根的初始近似值称为根的k次近似值；称为迭代函数；称为迭代序列若迭代序列收敛，则称迭代法收敛，此时可经过有限次计算得到满足精度要求的近似根；其中：若迭代序列发散，则称迭代法发散，发散的迭代法没有任何使用价值。11例3用迭代法求方程在内的根。解将方程转化为等价方程得相应的迭代公式若取初值计算结果如下表从表中可以看出，迭代序列是收敛的，

8、且是方程根的一个较好的近似值。12345789101.894536471.893521141.893332331.893297221.893290691.893289471.893289251.893289211.893289201.89328920……612若取初值计算结果图像（MATLAB）注：该方程的3个根1.89328919630450-0.94664459815225+0.82970355286240i（复数根）-0.946644