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时间：2020-08-15
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1、9.2角动量的本征值和本征态在3.3.2节中，讨论了轨道角动量的性质.在第8章中讲述了自旋以及自旋与轨道角动量耦合成的总角动量.本节将更一般地讨论角动量的本征和本征态问题.假设算符满足下列对易式：（1）则以作为三个分量的矢量算符，称为角动量算符.以下根据式（1）和角动量算符的厄米性来求出角动量的本征值和本征态.定义（2）容易证明（3）角动量的对易关系式还有以下表示，首先定义（4）其逆表示式为（5）那么就有（6）（7）（8）（9）由于和对易，可以求它们的共同本征态（10）以下分几步进行.对对易式取矩阵元计算得到即矩阵元对于总角动量是对角的（11）（
2、a）（b）对对易式取矩阵元得到利用式（10），计算得到所以（12）（c）对对易式取对角矩阵元由矩阵元选择规则（12），只有以下矩阵元有贡献：得到再利用，可知令（13）可得上式化为此式有解由此可见磁量子数有上界和下界，满足（14）由此得到所以计算得到只相差整数，上界和下界也相差整数由于相邻所以（15）而（16）（d）求的本征值.按式（8），有等式两边取平均值（17）利用式（10）和（12），得再利用式（16），可求出这样角动量本征态写为(19)（18）按上面分析所以（d）(21)(22)的矩阵元.利用式（11）、（13）和（16），可得出其中是任意
3、正实数，习惯上取为零，这时矩阵元为实数(20)再利用式（5）可求出及的矩阵元如下：（23）
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