讲非齐次边界条件的齐次化处理.ppt

《讲非齐次边界条件的齐次化处理.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、§8.3非齐次边界条件的齐次化处理从之前的讨论中可知，除稳定场问题需部分非齐次边界来确定叠加系数外，其它情况总是要求边界条件为齐次。这是分离变量法的适用条件。这也是本征函数有解且解具有正交完备性的基本要求。所以对于一些非齐次边界,我们总是想办法将其齐次化。一、Ⅰ类非齐次边界的齐次化处理如果能将非齐次边界问题u转化为齐次边界问题w和一个较简单函数v的叠加，即u=w+v，而函数v满足u的边界条件，这样w满足的边界即为齐次边界。其中函数v的选取具有一定的随机性，有时要作多次尝试，而且其形式不唯一。1、齐次方程的一般处理例如，自由振动问题对于第一类边

2、界，不妨把v选为x的线性函数：代入边界条件，可得待定系数则定解问题变为：这样问题转化为齐次边界条件的非齐次方程。如果令还可以将w方程齐次化。这里的m(t)和n(t)为不高于时间t二次方的函数。这时，函数v(x,t)相当于方程的一个特解，而选取的机动函数只要满足齐次边界w(0)=0=w(l)，便不会影响v(x,t)的齐次化。例1：求定解问题根据上面的分析，可令线性函数并让v(x,t)满足非齐次边界：又v(x,t)为方程的特解，代入方程得：解得：由其边界条件得：则定解问题变为：从而问题转化为关于w(x,t)的齐次边界条件的齐次方程，解之得其中系数

3、由初条件确定为：从而可得u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)。2、非齐次方程若上面为非齐次方程，且f(x,t)=f(x)，称为稳恒方程，则在确定机动函数w(x)时得到的方程为非齐次常微分方程，所以可用常数变易法求解，这样仍然可以转化为含齐次边界的齐次方程。但是，当f(x,t)含有时间项时（非稳恒方程），只能将非齐次边界齐次化，而很难用求w(x)的办法使方程齐次化，这样只能转化为含齐次边界的非齐次方程。如下例：例2：其它条件不变，仅让例1的方程变为解：令则v(x,t)满足非齐次边界。令u=v+w，得定解问题用本征函数展开得：其中由初条件得：

4、作拉氏变换，解得：从而可得通解u=v+w。用冲量法再解上述非齐次方程，方程可分解为：解满足w=w1+w2。其中齐次方程Ⅱ的通解为非齐次方程Ⅰ的解可用冲量法求，先求解方程解得：将通解代入初条件得：故从而可得通解u=v+w。3、特殊处理当非齐次边界为时间的周期函数时，还可以作特殊的齐次化处理，即取v(x,t)也为时间的周期函数。例3：求定解方程令v(x,t)=X(x)sinwt是齐次方程的一个特解，并满足非齐次边界，则分离变量得：再令u=v+w，则上面的定解问题变为：解之得：其中系数：最后可得通解u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)。当φ(x

5、)=0=ψ(x)时，即为课本例2，则此时系数：为0所以，当边界处的外加力频率ω与某一本征振动频率ωn接近时，即这便是共振。方法二：该题也可以用一般处理法，令u=v+w，其中所以定解方程变为：由本征函数展开法或冲量法可解出：同样产生共振。因为有傅氏展开所以，两种解法的结果是完全相同的。ω→ωn为1二、Ⅱ类非齐次边界的齐次化处理如果上述的定解问题为第二类非齐次边界，即则vx需作x变量的线性型变换，即令满足非齐次边界，从而可得若给v(x,t)增加一个随机函数w(x)还可将方程齐次化。总之，第二类非齐次边界的处理办法和第一类完全相同。三、其它非齐次边

6、界的齐次化处理下面给出其它非齐次边界条件下的函数v(x,t)的形式：v的x线性型变换不可行？显然函数v(x,t)满足各自的边界条件，且不超过x和t的二次方。函数v(x,t)的形式不唯一，只要满足边界即可，因此上述(1)和(2)的形式也可以令为：四、分离变量法说明作业P175：1，32、二阶线性偏微分方程的解不一定是分离变量的乘积形式，例如，和的形式u=x+y也是拉氏方程的解。1、常系数二阶偏微分方程可用分离变量法，但变系数二阶线性偏微分不一定能用分离变量法；