2020数学(文)二轮专题限时集训：11 圆锥曲线中的综合问题 Word版含解析.pdf

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1、专题限时集训(十一)圆锥曲线中的综合问题(建议用时：40分钟)1．(2019·西安模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，x轴上方的点5A(2，m)在抛物线E上，且

2、AF

3、＝，直线l与抛物线E交于M，N两点(点M，N2与A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k，k.12(1)求抛物线E的方程；(2)当k＋k＝2时，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．12p5[解](1)由抛物线的定义得

4、AF

5、＝2＋＝，得p＝1，22所以，抛物线E的方程为y2＝2x.(2)证明：如图所示，易知直线l的斜率存在且不等于零，设直线l的方程为y＝kx＋b，y＝

6、kx＋b，联立直线l与抛物线E的方程得k2x2＋y2＝2x，(2kb－2)x＋b2＝0，2－2kb设M(x，y)，N(x，y)，A(2,2)，由根与系数的关系得x＋x＝，xx112212k212b2y－2y－2kx＋b－2x－2＋kx＋b－2x－2＝，k＋k＝1＋2＝1221k212x－2x－2x－2x－21212b22－2kb2k·＋b－2k－2·＋8－4bk2k2＝b22－2kb－2·＋4k2k22kb2＋b－2k－22－2kb＋8－4bk2＝＝2，b2－22－2kb＋4k2化简得出(b＋1)(b＋2k－2)

7、＝0，∴b＝－1或b＝2－2k.当b＝－1时，y＝kx－1，过定点(0，－1)；当b＝2－2k时，y＝kx＋2－2k＝k(x－2)＋2，过定点(2,2)，舍去，故直线l恒过定点(0，－1)．x2y22．(2019·马鞍山二模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，点a2b23M1，在椭圆C上且MF垂直于x轴．2(1)求椭圆C的方程；(2)设P为椭圆C上的动点，直线PM与x＝4交于点N，求证：点N到直线PF的距离为定值，并求出这个定值．c＝1，19[解](1)由题意可得＋＝1，解得a2＝4，b2＝3，a24b2a2＝b2＋c2，x2

8、y2故椭圆C的方程为＋＝1.433(2)证明：设点P的坐标为(x，y)，由M1，，0023y－302可得直线PM的方程为y－＝(x－1)，2x－1033y－023将x＝4，代入可得y＝＋，x－12033y－故点N023，4，＋x－120∵F(1,0)，y∴直线PF的方程为y＝0(x－1)，即yx＋(1－x)y－y＝0.x－10000∴点N到直线PF的距离为33y0－234y＋1－x·－y00＋0x－120y2＋1－x200336－x

9、4－x

10、20

11、20＝＝3123－x2＋1－2x＋x2x－24000203

12、4－x

13、20＝＝3，1

14、x－4

15、20故N到直线PF的距离为定值，定值为3.x2y23．(2019·全国卷Ⅱ)已知F，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P12a2b2为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF为等边三角形，求C的离心率；2(2)如果存在点P，使得PF⊥PF，且△FPF的面积等于16，求b的值和a1212的取值范围．[解](1)连接PF(图略)．由△POF为等边三角形可知在△FPF中，∠FPF121212＝90°，

16、PF

17、＝c，

18、PF

19、＝3c，于是2a＝

20、PF

21、＋

22、P

23、F

24、＝(3＋1)c，故C的离心率为2112ce＝＝3－1.a(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当1yyx2y2

25、y

26、·2c＝16，·＝－1，＋＝1，2x＋cx－ca2b2即c

27、y

28、＝16，①x2＋y2＝c2，②x2y2＋＝1.③a2b2b4由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.c2162又由①知y2＝，故b＝4.c2a2由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，c2所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥42.当b＝4，a≥42时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[42，＋∞)．x2y24．已知椭圆M：＋＝1

29、(a＞0)的一个焦点为F(－1,0)，左、右顶点分别为A，a23B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．(1)求椭圆M的方程；(2)[一题多解]记△ABD与△ABC的面积分别为S和S，求

30、S－S

31、的最大值．1212[解](1)因为F(－1,0)为椭圆M的焦点，所以c＝1，x2y2又b＝3，所以a＝2，所以椭圆M的方程为＋＝1.43(2)法一：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，此时△ABD与△ABC的面积相等，即

32、S－S

33、＝0.12当直线l的斜率存在时，设C(x，y)，D(x，y)，直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，1122与椭圆M的方程联

34、立，消去y，得(3＋4k2)x2＋8k