导数进阶2双参数.pdf

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1、。导数进阶2双参数三、双参数中知道其中一个参数的范围型：a【例题5】（17天津理）已知函数f(x)xb(x0)，其中a，bR．x（1）讨论函数f(x)的单调性；11（2）若对于任意的a[,2]，不等式f(x)10在[,1]上恒成立，求b的取值范围．24a解：（1）f(x)1．x2当a0时，显然f(x)0(x0)．这时f(x)在(,0)，(0,)上内是增函数．当a0时，令f(x)0，解得xa．当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(,a)a(a,0)(0,

2、a)a(a,)f(x)0－0fx∴f(x)在(,a)，(a,)内是增函数，在(a,0)，(0,)内是减函数．（2）法一：化归为最值．111由（2）知，f(x)在[,1]上的最大值为f()与f(1)的较大者，对于任意的a[,2]，不等式4421391f()10b4a1f(x)10在[,1]上恒成立，当且仅当4，即4，对a[,2]成立．42f(1)10b9a77从而得b，∴满足条件的b的取值范围是(,]．44法二：变量分离．aa∵f(x)10，∴b1

3、0(x)，即b10(x)．xxminaax2a令g(x)10(x)，g(x)10，xx2x21139397∴g(x)在[,1]上递减，g(x)最小值为g()4a42，4444477从而得b，∴满足条件的b的取值范围是(,]．442或用ax2(10b)x，即x2(10b)x2，进一步分离变量得b10(x)，x217利用导数可以得到10(x)在x时取得最小值，x4477从而得b，∴满足条件的b的取值范围是(,]．44法三：变更主元．-可编辑

4、修改-。1aaf(x)10在[,1]上恒成立，即xb10，(a)xb100，4xx112∵x[,1]，∴(a)在[,2]递增，即(a)的最大值为(2)xb100．42x以下同上法．说明：本题是在对于任意的a[2,2]，f(x)1在[1,1]上恒成立相当于两次恒成立，这样的题，往往先保证一个恒成立，在此基础上，再保证另一个恒成立．【例题6】设函数f(x)x4ax32x216lnxb(a，bR)，若对于任意的a[2,2]，不等式f(x)x4在x(0,1]上恒

5、成立，求实数b的取值范围．2x216lnxb解：f(x)x4在x(0,1]上恒成立，即a在x(0,1]上恒成立．x32x216lnxb由条件a[2,2]得a2，x3min又x(0,1]，∴2x216lnxb2x3，即b(2x32x216lnx)．min166x34x2162(3x32x28)设g(x)2x32x216lnx，则g(x)6x24x．xxx令(x)3x32x28，(x)9x24xx(9x4)，44当x(0

6、,)，(x)0；当x(,1)，(x)0，99432∴x(0,1]时，(x)()80，于是g(x)0，极小值9243∴g(x)2x32x216lnx在x(0,1]递减，∴g(x)的最小值为g(1)0，∴b0，因此满足条件的b的取值范围是(,0]．【针对练习7】设函数f(x)x4ax32x2b(xR)，其中a，bR．若对于任意的a[2,2]，不等式f(x)1在[1,1]上恒成立，求b的取值范围．四、双参数中的范围均未知型：【例题7】（17湖南理）已知函数f(

7、x)x2bxc(b,cR)，对任意的xR，恒有f(x)f(x)．（1）证明：当x0时，f(x)(xc)2；（2）若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)f(b)M(c2b2)恒成立，求M的最小值．解：（1）易知f(x)2xb．由题设，对任意的xR，2xbx2bxc，即b2x2(b2)xcb0恒成立，∴(b2)24(cb)0，从而c1．4b2于是c1，且c21

8、b

9、，因此2cbc(cb)0．4故当x0时，有(xc)2f(x)(2c

10、b)xc(c1)0，即当x0时，f(x)(xc)2．（2）由（1）知，c

11、b

12、．f(c)f(b)c2b2bcb2c2b当c

13、b

14、时，有M．c2b2c2b2bcbc2b113令t，则1t1，2．而函数g(t)2(1t1)的值域是(,)．cb